初中數學教學中“反例”的應用研究

張華忠

（沭陽縣胡集初級中學，江蘇 宿遷）

一、緒論

在數學教學中命題的判定是一個重要的模塊內容，要判斷一個數學命題的正確性，在正向證明和思考存在困難時，可以列舉出一個滿足命題條件，但結論與命題條件不相符的例子，就能完成對命題的否定，這是通常意義下反例的定義。反例教學在初中數學教育中具有不可或缺的作用，但在實施的過程中依然有一些關鍵點需要注意。

二、初中數學反例教學中需要注意的問題

1.注意反例教學的引入

在教學過程中引入反例時要注意聯系學生的知識水平和心理特征，考慮到該年齡段學生在問題解決方面還很難做到獨立系統推理論證，思維仍具有一定局限性，故引入的反例要便于學生理解，具有一定可行性和現實意義。

2.注意反例教學構建

在使用反例進行教學時，教師不僅應當合理使用反例，更加重要的一點是引導學生學習構造反例，這屬于數學教學過程中的探究活動，并且在很多情況下反例的構建并不唯一，有多種方案，這就對學生知識的掌握和概念的理解提出了新的挑戰。學生在構建反例過程中能夠培養思考能力，學會動腦解決問題。例如，在教學實數相關內容時，提問學生：兩個無理數的和是否一定是無理數？學生立即舉出幾個反例，如π與-π，它們的和等于零，是有理數。這時教師可以將問題擴展到無理數的乘除方向，引發學生更深一步的思考。學生在討論的過程中不僅更深一步了解了無理數和有理數的概念，更培養了發散的數學思維。

3.注意反例教學的逐層深入性

在構建反例教學時教師應當按照教學大綱確定合理的教學深度，并以此來構建反例，將高難度的題目轉化為難度較低的幾個部分，讓學生能有逐層思考的機會。在教授三角形全等的判定定理時，學生在掌握基本的幾個判定定理（SSS，SAS，ASA，AAS）后，教師可給出其他條件讓學生判斷該三角形是否為全等三角形，比如固定一條邊或固定一個角，學生在分情況討論的過程中構造不全等三角形舉出反例，大大降低了解題難度。

三、反例教學的重要作用

1.培養學生思維的縝密性

在研究數學過程中必須做到嚴謹，教師在使用反例教學過程中可將學生平日在學習考試中容易犯的錯誤設計成反例，讓學生突破思維誤區，培養思維縝密性。如在數的性質判斷過程中，學生習慣用特殊值法解題，這常出現行不通的狀況。從這點可以看出構建反例同時也是學生學習數學從多角度對問題進行研究的一類過程，適當設置的反例教學不僅有助于學生發現學習中的漏洞及錯誤，并且可以幫助學生培養多方面思考的能力，在解題過程中考慮更全面。

2.培養學生的創新精神

實驗、推理和猜想是構建反例的三大要素，在參與構建反例的過程中，學生的創新能力也能得到大幅度的提升。例如，判斷“底面是正三角形，側面均為等腰三角形的棱錐是正三棱錐”這一命題，學生很容易進入一個思維誤區中，就是將“側面是等腰三角形”等價于“側面是全等的等腰三角形”，從而造成解題和思考的誤區。在針對類似反例的探索和研究中，學生學習數學的興趣將會得到有效激發，也培養了學生數學學習的毅力與熱情，達到素質教育中培養創新性的目的。

3.培養學生思維的發散性

在完成正多邊形的性質學習后，學生都對正多邊形的性質有了一定程度的了解，如正多邊形所有的邊、角都相等。為了令學生對這一性質印象更為深刻，教師可采用設計反例的方法對此進行鞏固。例如菱形，此類多邊形具有不穩定性，常常會出現各個邊均保持相等、各個角并不相等的情況，而且所有角都相等的多邊形是正多邊形的反例，存在無數個這樣的正多邊形。

四、結論

構建反例不僅是非常重要的教學方法和策略之一，更是充分利用數學思想解決問題的體現。數學反例是為初中數學教學增色的一個重要教學方法，教師合理設計反例，或者有針對性地引導學生構建反例，思考用反例解決問題，常常能令學生的思考能力產生質的飛躍，幫助學生更好地掌握數學知識，并培養學生思維的創新性和發散性以及全面性。