妙解高中數(shù)學(xué)填空題四大技巧詳述

福建省龍巖高級(jí)中學(xué) 盧文勝

福建省龍巖二中 張南福

高中數(shù)學(xué)試卷中的填空題普遍呈現(xiàn)先易后難的階梯型分布，從基礎(chǔ)的計(jì)算和公式運(yùn)用到綜合運(yùn)用邏輯推理的拓展題均有考查，覆蓋知識(shí)面廣，題型較為靈活，因此教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生掌握更多的填空題解題技巧，針對(duì)不同的題型大膽嘗試不同的解題技巧，提升分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。以下筆者將從基礎(chǔ)知識(shí)、合理推導(dǎo)、代入特值以及等價(jià)轉(zhuǎn)換四個(gè)最常用的填空題解題技巧進(jìn)行具體闡述。

一、打牢基礎(chǔ)，尋找知識(shí)關(guān)聯(lián)

解決任何數(shù)學(xué)問(wèn)題的首要前提和關(guān)鍵因素在于牢固掌握基礎(chǔ)知識(shí)。高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)多而雜，且填空題出題形式靈活多樣，涉及的知識(shí)點(diǎn)較為全面，多以綜合考查多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的形式出現(xiàn)。因此，教師應(yīng)當(dāng)注意對(duì)學(xué)生知識(shí)體系建立的引導(dǎo)，促使學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)中就形成建立完整知識(shí)體系的意識(shí)，注重知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)運(yùn)用，輔以適當(dāng)?shù)牧?xí)題進(jìn)行鞏固和拓展。只有知識(shí)點(diǎn)掌握得更加全面，對(duì)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系更加清晰，才能確保簡(jiǎn)單題不失分，并且冷靜應(yīng)對(duì)填空題中出現(xiàn)的各種各樣的新穎題型或難度較大的問(wèn)題。

例如，筆者在課堂最后的練習(xí)鞏固環(huán)節(jié)，給學(xué)生設(shè)計(jì)了這樣幾道基礎(chǔ)填空題，供學(xué)生在有限的時(shí)間里完成：

1） 已知集合 A={-7，-3，0，3，4，6}，集合 B={-3，0，3，4}，則 A∪B=______，A∩B=________。

2）已知函數(shù) f(x)=1+x/(1-x)的定義域?yàn)锳，函數(shù)f[f(x)]的定義域是B，則集合A與集合B之間的關(guān)系是_______。

第一小題是最為基礎(chǔ)的“集合”問(wèn)題，考查的是學(xué)生對(duì)集合中的“交集”和“并集”的概念，同時(shí)這樣的基礎(chǔ)題也存在著學(xué)生易犯的錯(cuò)誤點(diǎn)，即交集和并集也是集合，因此答案呈現(xiàn)出來(lái)也應(yīng)當(dāng)是集合的形式，這往往是學(xué)生認(rèn)為題目相對(duì)簡(jiǎn)單而容易忽視的問(wèn)題；第二小題考查的是函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的定義域問(wèn)題，定義域A尚不難理解，學(xué)生理解f[f(x)]的定義域就是f(x)的值域是本道題的解題關(guān)鍵點(diǎn)，理解這一點(diǎn)學(xué)生才能了解A和B之間的關(guān)系為A?B。

完善學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)體系，離不開(kāi)適量的習(xí)題作為鍛煉，只有學(xué)會(huì)將知識(shí)點(diǎn)實(shí)際運(yùn)用到解決問(wèn)題之中，才算是真正掌握了知識(shí)點(diǎn)，在面對(duì)陌生題時(shí)才能有從容不迫的心態(tài)。

二、合理推導(dǎo)，思維靈活轉(zhuǎn)變

直接推導(dǎo)是學(xué)生在解決填空類問(wèn)題時(shí)最為常用的一種方法，也是最簡(jiǎn)單而實(shí)用的一種方法，通過(guò)分析題中所給條件，找出條件之間的相互關(guān)系，并思考與問(wèn)題和條件相對(duì)應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)，層層遞進(jìn)。在實(shí)際教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生往往會(huì)因?yàn)樘羁疹}短小精練，而忽略文字中隱含的一些關(guān)鍵信息，導(dǎo)致推導(dǎo)鏈中斷，卡在一個(gè)思維關(guān)鍵點(diǎn)，很難進(jìn)行下一步推導(dǎo)。因此，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)閱讀題干信息，不放過(guò)題干中每一個(gè)隱藏條件，從而保證思維更加全面和完善，實(shí)現(xiàn)流暢的思維推導(dǎo)，保證思維的縝密性，提高填空題正確率以及信息提取和分析的能力。

例如，筆者針對(duì)推導(dǎo)這一解題方法給學(xué)生設(shè)計(jì)了這樣一道應(yīng)用題：

箱子中共有紅、黃、藍(lán)三種顏色的小球，一人有9次抽取小球的機(jī)會(huì)，在9次嘗試中，均抽中紅球的人獲得一等獎(jiǎng)，8次抽中紅球的人獲得二等獎(jiǎng)，7次抽中紅球的人獲得三等獎(jiǎng)，抽中7次以下紅球的人不獲獎(jiǎng)。請(qǐng)問(wèn)，一個(gè)人獲得一等獎(jiǎng)的概率是________。

這道填空題中分別有三個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)對(duì)應(yīng)的條件，但不是每一個(gè)條件都對(duì)解決問(wèn)題有作用，問(wèn)題是獲一等獎(jiǎng)的概率，因此二等獎(jiǎng)和三等獎(jiǎng)的條件則是無(wú)用條件，也可以說(shuō)是本題的干擾條件，因此面對(duì)這些無(wú)用條件，學(xué)生應(yīng)當(dāng)懂得分析和舍棄，將思維集中在有用條件上，共三個(gè)小球，抽中紅球的概率為1/3，共9次機(jī)會(huì)，由于每一次時(shí)間都相互獨(dú)立，因此最后獲得一等獎(jiǎng)的概率即1/3的9次方。

此外，填空題雖然答案固定，但也不乏出現(xiàn)多解的情況，答案往往缺一不可。因此，在利用條件進(jìn)行推導(dǎo)的過(guò)程中，應(yīng)當(dāng)尤其注意個(gè)別條件的表達(dá)方式，諸如圓和直線的位置關(guān)系等等可能會(huì)出現(xiàn)多解情況的問(wèn)題，教師應(yīng)當(dāng)在平時(shí)的教學(xué)中注重一題多解意識(shí)的引導(dǎo)和滲透，確保學(xué)生思維的全面性和嚴(yán)密性。

三、代入特值，巧用逆向求證

代入特值是針對(duì)填空題無(wú)需完整解題過(guò)程這一特點(diǎn)的特殊方法。通常運(yùn)用于問(wèn)題推導(dǎo)過(guò)程中思維受阻的情況下，以及答題時(shí)間緊迫或是答題經(jīng)驗(yàn)相對(duì)豐富的情況下。代入特值這一方法簡(jiǎn)便快速，不需要經(jīng)過(guò)復(fù)雜的邏輯思考和判斷，而是根據(jù)大致題意，選取合適的特值代入，作為條件來(lái)逆向證明是否符合題意，適用于含有不定量和定論的題目。代入特值這一方法不局限于選取特殊的代數(shù)值，學(xué)生可根據(jù)題目的具體需要來(lái)選取一個(gè)點(diǎn)、一個(gè)坐標(biāo)或一個(gè)特殊狀態(tài)的幾何圖形、一個(gè)特殊數(shù)列等等，可根據(jù)題意隨機(jī)應(yīng)變，有利于學(xué)生將復(fù)雜抽象的問(wèn)題簡(jiǎn)單化、具體化。

例如，已知△ABC的三條邊a，b，c成等差數(shù)列，則 (sinA+sinB)/(1+sinAsinB)=__________。

本題條件中未提及三角形三條邊的具體長(zhǎng)度，但由“三條邊長(zhǎng)度成等差數(shù)列”可知三條邊長(zhǎng)度的數(shù)量關(guān)系，若在解答題中，設(shè)三條邊為相應(yīng)的未知數(shù)進(jìn)行解答，過(guò)程較為煩瑣，而在填空題中可用快速而簡(jiǎn)單的特值方法來(lái)解決，比如學(xué)生在日常的習(xí)題練習(xí)中常常會(huì)見(jiàn)到邊長(zhǎng)為3，4，5的直角三角形，而三條邊的長(zhǎng)度又剛好滿足等差數(shù)列的條件，因此是可以代入的合理特值，這樣就能輕松得到最終結(jié)果，節(jié)省大量推理和演算的時(shí)間。

特值代入法是建立在有根據(jù)可循的基礎(chǔ)上，不可憑空臆造數(shù)值代入計(jì)算，而在實(shí)際解題過(guò)程中，學(xué)生代入之所以能夠快速想到合理數(shù)值，除了條件提示，與平時(shí)做題積累的經(jīng)驗(yàn)是分不開(kāi)的，比如針對(duì)此題學(xué)生若平時(shí)肯多做題多琢磨，對(duì)三邊長(zhǎng)分別為3，4，5的這一直角三角形不會(huì)陌生，從而能夠在綜合填空題的考查中以更快的反應(yīng)速度完成這道題的解答。

四、等價(jià)轉(zhuǎn)換，深入淺出分析

高中數(shù)學(xué)填空題形式多樣，新穎靈活，尤其是在后半部分難度較大的幾道題中，常常綜合考查多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，因此在面對(duì)新穎題時(shí)，學(xué)生往往無(wú)從下手。實(shí)際上，只要知識(shí)點(diǎn)的考查不變，那么任憑題目條件如何變化，都不會(huì)影響到最根本的解題方法，尤其是在填空題方面，與解答題相比，填空題無(wú)需過(guò)程且分值較小，無(wú)需耗費(fèi)大量時(shí)間去解一道難題，這種做法在考場(chǎng)上是得不償失的。因此，面對(duì)新穎題，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)換的方法，透過(guò)題干中的表層文字，剖析條件的根本所在，從而在大腦中搜索到相似、熟悉的問(wèn)題，將新問(wèn)題轉(zhuǎn)換為老問(wèn)題來(lái)解決，能夠大大減小解題難度，實(shí)現(xiàn)高效做題。

例如，筆者在講授圓錐曲線和直線的位置關(guān)系時(shí)，曾設(shè)計(jì)了這樣一道經(jīng)典的填空題：已知曲線x2+y2-2px+p2-2p-4=0與直線y=mx+1(a∈R)始終有一交點(diǎn)，求p的取值范圍_____。

這道題中涉及到了p和m兩個(gè)未知參數(shù)，給學(xué)生解題增加了難度，但學(xué)生完全可以運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)換這一思想來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題，即y=mx+1這一直線與y軸有一交點(diǎn)（0，1），無(wú)論 m 值如何變動(dòng)，這個(gè)交點(diǎn)都不會(huì)發(fā)生變化，因此本題的解題思路也就轉(zhuǎn)換為只要（0，1）在曲線內(nèi)，兩者就始終有一交點(diǎn)，將這一交點(diǎn)坐標(biāo)代入曲線令1+2p2-2p-4≤0即可得出最終答案。

題中所給的條件看似都是數(shù)值之間的關(guān)系，但圓錐曲線與直線的位置關(guān)系實(shí)際上應(yīng)當(dāng)放在坐標(biāo)系中去分析，找出直線不受參數(shù)所影響的一個(gè)點(diǎn)，排除其中一個(gè)參數(shù)對(duì)解決問(wèn)題的干擾，由此才能將題目的難度減小一半，代入得正確答案。

總之，雖然填空題覆蓋知識(shí)面廣且靈活多變，但其難易程度成階梯形規(guī)律分布，因此學(xué)生首先應(yīng)當(dāng)牢固掌握基礎(chǔ)計(jì)算方法和公理運(yùn)用，確保基礎(chǔ)題的正確率和解題高效性。在面對(duì)新穎題型時(shí)學(xué)會(huì)運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)換的方法，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)換，在學(xué)生思維受阻時(shí)采用合理推導(dǎo)或代入特值來(lái)疏通思路，選對(duì)解題技巧，同時(shí)在此過(guò)程中提升信息分析和策略選擇的能力，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)的提升。

[1]華騰飛.巧用特殊法 妙解選擇題[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2012，9.

[2]楊偉達(dá).用好平行線妙解高考題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2016，11.

[3]靳自忠.巧用整體思想 妙解數(shù)學(xué)問(wèn)題[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2017，3.