導數在恒成立問題中的應用

林郁松

（廣西平南縣中學，廣西 貴港）

導數是高中數學的基礎知識，他是聯系數學知識的橋梁和紐帶。導數的運用能夠有效解決數學問題，是證明不等式、研究函數性質、研究函數極值最值問題、求曲線斜率和解決物理問題的有力工具。可以借助導數建立恰當的數學模型，解決函數應用中的恒成立問題。

導數教學大綱主要是運用導數性質，研究函數的單調性，對極值最值問題進行研究，會求函數的單調區間，并且知道可導函數在某點取得導數的充分必要條件，會解決數學中的實際問題。導數學習目標主要是充分利用導數這一工具解決恒成立問題，讓學生能夠學會轉化，分類討論的數學思想，提高學生解題能力。

下面我們可以通過一些熱身練習和典型例題了解導數在解決不等式恒成立中求參數取值范圍的問題以及含參數導數問題的分類討論思想。

一、熱身練習

設函數f（x）=ax^3-3x+1（x屬于R），對于任意x屬于［-1，1］，都有f（x）＞=0成立，則實數a的取值范圍？

解：這里的函數是f（m），m是變量，t^2和t代表兩個常數，這是關于m的一元一次函數，m的定義域是［-1，1］。

（1）由f（-1）＞0，所以有t^2+2t＞0，t（t+2）＞0，①t＞0②t＜-2。

（2）由f（1）＞0，得t^2-2t＞0，t（t-2）＞0，①t＞2，②t＜0求（1）（2）的交集：得出 t＞2 和 t＜-2（這里寫“和”，不能寫“或”）。

二、典型例題

已知函數f（x）=-x^3+bx（b為常數）在區間（0，1）上單調遞增，且方程f（x）=0的根都在［-2，2］內，則b的取值范圍是？

第一個條件：求導之后，容易分析出導數值在（0，1）上大于等于0恒成立，利用根的分布，作出二次函數圖像列出關于不等式，再求解，求其交集。

第二個條件：講f（x）因式分解知道一個根為0（明顯在所規定的區間內），另外兩個為正負根號b（當B大于等于0時成立），結合第一個條件所得不等式討論：當b大于等于0時和B小于0時，再分別與第一條件所得的含B的不等式求交集。

在數學學習過程中遇到恒成立問題時，學生往往有很好的技巧去解決此類問題。恒成立問題，包括換元、化歸、數形結合、函數與方程思想方法及導數的應用和性質，恒成立問題解決能夠培養學生的靈活性創造性思維，有利于提高學生的綜合解題能力。探討導數在解決恒成立問題中的應用，通過恒等變形如果不能直接解除參數，那么可以將參數分離出來，構造新函數，再用導數求解。

當0＜y＜1時；F′（Y）＞0；當y＞1時，F′（y）＜0；所以F（y）在（0，1）上單調遞增；在（1，+∞）上單調遞減，所以函數 F（y）在 y=1處取得極大值。

因為y≥1，所以h′（y）≥0，

所以 h（y）在［1，+∞）上單調遞增，

所以［h（y）］min=h（1）=2＞0，從而g′（y）＞0。

解題規律:要使得 F（y）≥c（或 F（y）≤c）（c 為常數）在某個區間［a，b］恒成立，先求出 F（y）在該區間上的最小值 F（y）min（或最大值 F（y）may）并且 F（y）min≥c（或 F（y）may≤c）即可解決問題。

例2.已知函數f（x）=-x+alnx。

（1）討論f（x）的單調性；

（2）若f（x）存在兩個極值點x1，x2，證明

當a≤2則f′（x）≤0當且僅當a=2，x=1時f′（x）=0所以f（x）在（0，+∞）單調遞減，

（2）由（1）知，f（x）存在兩個極值點當且僅當a＞2。

由于f（x）的兩個極值點x1，x2滿足x2-ax+1=0，所以x1x2=1，不妨設 x1＜x2，

則x2＞1。由于

在高中數學學習過程中以及高考試題中，運用導數可以解決函數的最值、極值、不等式問題，導數還可以在知識的網絡交叉處設計問題，在學生高考中占有重要地位。因此，我們必須重視導數在恒成立問題中的重要作用，作為教師要突出對于導數恒成立問題應用中的探討，探索能夠有效解決數學問題的解題規律和技巧，向學生講授導數的獨特運用方法，引導學生獨立自主的解決恒成立問題。