高中三角函數(shù)學習策略淺議

劉益寧

（青島西海岸新區(qū)第三高級中學，山東 青島）

作為高中數(shù)學知識的重要內(nèi)容之一，三角函數(shù)的學習既是重點也是難點。一方面，由于其概念和定義的高度抽象性以及公式運用的繁雜性，不少同學在理解和運用上面存在障礙，尤其對于誘導公式運用和轉換，記憶不清，時常混淆；另一方面，三角函數(shù)與其他知識板塊聯(lián)系緊密，遷移范圍廣，幾乎有滲透到高中整個數(shù)學學科的趨勢，而有不少學生往往在題目情境中想不到該用三角函數(shù)，一些同學雖能想到，卻又不知道該用哪種。以下，筆者結合個人學習體會，針對高中三角函數(shù)的學習談幾點策略性意見，希望對高中同學有所助益。

一、明確思維主線，扎實知識基礎

任何知識要想學好用好，掌握到位，理清思路和打牢基礎都是必不可少的，也是最為關鍵的，鑒于三角函數(shù)概念抽象、公式繁多、不易全面深入掌握的特點，打基礎的工作就更顯得尤為重要。這方面，筆者曾根據(jù)三角函數(shù)課程特點總結出“三個知識模塊”“一條思維主線”，以方便理解和記憶。現(xiàn)淺示如下：

1.三個知識模塊

正弦、余弦、正切是三角函數(shù)的三個基本定義，同角三角函數(shù)的基本關系則主要是sin2α+cos2α=1，在學習時只要掌握這兩個基本點并能靈活運用，就可以演化出一些包含基礎知識運用的代表性題型讓學生牢記和掌握，這樣學生也就基本全面地掌握了三角函數(shù)的基本知識，為以后的深入掌握奠定了基礎。筆者習慣于按以下三個模塊來劃分：

①已知sinα或cosα，求其余的三角函數(shù)。注意：確定角的終邊位置對求值是至關重要的，有時由于角的終邊位置不確定，解的情況不止一種。

②在 sinα+cosα、sinα-cosα、sinα·cosα 三個項中，已知一個求其余兩個。

③已知tanα或cotα，求其余的三角函數(shù)；并計算或化簡分式為關于正余弦的一次或二次的齊次式。

2.一條思維主線

此處主要講求任意角的基本思路。任意角的三角函數(shù)值可由誘導公式求得，從銳角到任意角，是特殊到一般的過程，那么我們求任意角的三角函數(shù)時就可以先把它轉化為銳角，利用特殊來求一般。這是解題的思維線索，剩下的問題就是任意角轉化為銳角的方式和過程。方式是：探究任意角的終邊與銳角的終邊的對稱關系；過程是：由圓周的360°以內(nèi)推廣到360°以外。

以上即為三角函數(shù)的“三個知識模塊”與“一條思維主線”，通過它們可以較好地簡化知識網(wǎng)絡，從整體上比較清晰地把握基本知識，并在此基礎上強化理解和提高運用能力。當然，鑒于各人的學習情況和學習個性不同，讀者也可以嘗試總結和構建適合于個人的知識主干和知識網(wǎng)絡。

二、掌握相關數(shù)學思想，提高實際解題能力

1.相關數(shù)學思想總結

數(shù)學思想是對解題思路的總結和升華，具有通用性和經(jīng)典性。能否在解題過程中靈活運用數(shù)學思想，往往是順利解題的關鍵，因為它可以將復雜繁瑣的數(shù)學問題轉化為我們所熟悉的數(shù)學模型。同時，數(shù)學思想的運用也是數(shù)學思維能力的一種反映，我們只有具備扎實的數(shù)學基礎和較強的數(shù)學思維能力后，才能形成成熟的數(shù)學思想并靈活運用之。在高中階段，常用的數(shù)學思想有數(shù)形結合思想、轉化化歸思想、分類討論思想、極限思想、方程思想、換元思想等。大體而言，鑒于三角函數(shù)與其他知識板塊聯(lián)系緊密，遷移范圍廣，這些思想均可與之有機結合，形成一些綜合性的題目。下面我們就以比較典型的數(shù)學結合思想和分類討論思想為例來進行較為深入的探討。

2.例談數(shù)學思想的具體運用

我們知道，三角函數(shù)的大小隨著角度參數(shù)的變化而呈現(xiàn)周期性的變化，在熟練掌握六種基本三角函數(shù)在其定義域內(nèi)的對應圖像的情況下，通過圖像就可以明確判定出各個函數(shù)在不同定義域內(nèi)的奇偶性、單調(diào)性，在此基礎上，遇到判定弧度值對應的函數(shù)值大小這一類型的題目時往往可以一目了然地得到答案。此外，在遇到較為復雜的三角函數(shù)問題時，我們可以通過分析由基本三角函數(shù) y=sinx拉伸、平移、壓縮而得到的函數(shù) y=Asinx（ωx+φ）（A＞0）的具體圖像來解決，這也是數(shù)形結合思想在三角函數(shù)中的典型應用。至于分類討論思想，其在三角函數(shù)中的應用也是頻率很高的，最常見的情況就是：由于三角函數(shù)的正負和大小在一個周期內(nèi)具有特定的規(guī)律性，因此在采用換元法解題時，得出最后結論后往往需要根據(jù)定義域情況進行分類討論，即依據(jù)不同的定義域情況進行對應的分析。這一過程充分體現(xiàn)出分類討論思想的重要性，在具體解題時我們應當充分意識到這一點。

綜上所述，筆者結合自身的一些學習體會，針對高中三角函數(shù)的學習提出了一些個人看法，即首先需要扎實知識基礎，理解“三個知識模塊”和“一條思維主線”，在此基礎上再掌握數(shù)形結合思想、分類討論思想等相關數(shù)學思想的應用，以提高實際解題能力。鑒于三角函數(shù)在高中數(shù)學中占據(jù)的重要地位，我們在學習中不僅不可以掉以輕心，更要時常進行總結和反思，以便不斷地增進理解和提高認識，在遇到該類題目中做到游刃有余。在此，愿與讀者共勉之。