淺談幾何概型的解題策略

趙鼎鋒

【摘要】 幾何概型是一種新穎的題型，它做到了將概率與幾何相結合。幾何概型作為一種概率研究的新方法，也就成為了高考的一個新增考點，不同類型的題，解題方法也大不相同，比如體積、面積、長度等不同的出題背景下，幾何概型試題的解題方法是不同。這種新題型將幾何與概率結合在一起，給概率的研究開辟了一條新的道路。

【關鍵詞】 幾何 概率 策略

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 1992-7711（2018）01-016-01

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近幾年幾何概型類試題頻頻出現高考試題中，系統性的分析這一類型問題，就可以看出這個題型十分新穎，這種新型題材對學生的學習來講是一種挑戰，對老師的教學也是一種挑戰。幾何概型類試題的解題方法大體分三種，首先要判斷該試題是不是幾何概型類試題，第二就是將題干中給出的可能發生事件所占區域和事件發生的全部可能性所占區域運用幾何圖形的形式表現出來，最后是用幾何概型的公式解答出題目的答案。

一、幾何概型的定義

在幾何概型中，一個事件發生的可能性可以用發生該事件的面積、體積、長度或者角度表達出來的話，我們稱這種數學模式為幾何概型。在習題中，我們可以將幾何概型問題轉化為區域內取點的問題，在一個特地定的區域內，有無數個點，具體取到哪個點是隨機的，取到這個點的概率就是答案。我們假設的特定區域可以是一個平面的圖像，也可以是一段線段，甚至是立體圖形也有可能。我們使用概率與幾何結合解題的方式稱為幾何概型。

二、幾何概型的基本特點

幾何概型是概率求解的一種新型方法，我們可以看成是在任意一個范圍內任意取一個值，這個值正好落在這個范圍的概率就是這個隨機事件發生的概率。無限性和可能性是幾何概型問題兩個主要特點。在一個取值范圍之內有無數個值，也可以轉化成區域內取點問題，也就是在一個區域中有無數個點，所以幾何概型具有無限性的特點，每一個不同的點被取到的概率是相同的，由于點是有無數個，所以每個都有可能被取到，這也就是幾何概型的可能性特點。

三、幾何概型的解題策略

（一）測度為長度的幾何概型

我們可以將每個幾何概型的試題都看作是在一個區域中取點的問題，在一個試題中，假設只有一個變量，我們就可以用數軸或者一條簡單的直線來表示，這就是測量為長度的幾何概型類問題。測量為長度的幾何概型的公式=構成答案的可能性長度比上事件所有可能性長度。比如例一：在一根長為三米的繩子中，隨機剪斷繩子，問剪斷后的兩段繩子都大于或等于一米的概率是多少？這道題我們可以根據下圖所示，將繩子平均分成三段，只有在中間一段剪斷，得到的兩端才會都大于等于一米，所以該問題答案的概率為三分之一。

（二）測度為面積的幾何概型

在一個幾何概型例題中只有一個變量的情況下，我們可以用數軸或者一條直線來解題，如果在一道例題中出現兩個變量，就需要我們運用平面直角坐標系來解決問題。這就需要運用到面積的概念了。計算概率的公式=構成題干所給區域的面積比上所有可能的區域的面積。比如例題一：假設小紅定了一份牛奶，送牛奶的人可能會在六點三十分到七點三十分之間將牛奶送到小紅家，小紅的媽媽離開家去上班的時間段為七點到八點之間，問小紅的媽媽在上班前拿到牛奶的概率為多少？這個例題中就有兩個變量，首先當小紅的媽媽去上班的時間大于送奶工送奶的時間，那么小紅的媽媽就可以在上班前拿到牛奶，我們可以用平面直角坐標系來畫圖解決這個問題。設送奶人到達的時間為x，小紅媽媽離家去上班的時間為y，假設小紅媽媽離家前能得到牛奶為事件a，利用平面直角坐標系來解答這個問題，首先確定橫坐為牛奶送到時間，小紅媽媽去上班的時間用縱坐標表示，小紅媽媽離家前能得到牛奶的事件構成區域如圖示：因為在送奶人和媽媽上班時間的指定區域，他們各自的時間是隨機的，題目屬于幾何概型問題。由題目可知，當我們假設的點落到陰影部分時，就意味著小紅媽媽在去上班前能得到牛奶。

（三）與體積有關的幾何概型問題

如果可以用體積表示幾何概型的度量，那么公式為構成事件可能性的體積比上全部可能結果的區域體積。如例題：有一杯子中裝了兩升水，水中含有一個雜質，用一個小杯子，從大杯水中取出0.1升的水，問水中含有這顆雜質的概率是多少？根據公式我們可以得出，水中含有雜質的概率為0.1升水比總水量2升，所以水中含有這顆雜質的概率是0.05.

（四）與角度有關的幾何概型問題

通過特殊三角形引導學生學習與“角度”有關的幾何概型，讓學生體會到與“角度”有關的幾何概型的特殊性[3]。在直角△BDF中，∠B=30°，過直角頂點F作射線FM交線段BD于M，求使BM大于DF的概率。這個角度有關的例題，我們可以把∠F分成三份相等的部分，我們就會得到三個范圍，射線FM落在這三個范圍里面的概率都是三分之一，對應的∠F的三條平分線將BD分成三段，注分出的這三條角平分線的長度是不同的，因此M落在這三個區間內的概率并能用長度的方法來算。所以BM>DF的概率應該是六分之一。

總結

綜上所述幾何概型涉及到了長度、面積、角度、體積等相關問題，這一新題型的探究，使幾何與概率緊密相連，為概率的研究提供了新的方向。幾何概型是一個新型的隨機事件處理模型，用于是概率問題圖形化處理。這一新穎的類型題給學生與教師同時帶來了挑戰。在高考題中，幾何概型難度要求不高，我們應該開闊思維，盡快熟悉這一高考新題型。

[ 參 考 文 獻 ]

[1]余波.關于新課標《幾何概型》文科教學的幾點思考[J].課程教材教學研究（教育研究）.2014（03），02：03.

[2]高麗娟.高中生“幾何概型”學習困難及對策研究[D].山東師范大學.2015（16），23：24.

[3]孫利萍.學生的易錯點剖析之一——與“角度”有關的幾何概型[J].2014（17），11：12.