在幾何畫板中繪制分段函數圖象的方法之探究

陳峰

摘 要：幾何畫板是高中數學備課和課堂教學中不可或缺的一款教學軟件，在幾何畫板中，不僅可以利用根號和對數函數作出連續型或限定定義域的初等函數的圖象，還能借助符號函數構造出分段函數各段上的所乘函數，進而繪制出分段函數的圖象，達到為教學研究服務的目的。

關鍵詞：幾何畫板；分段函數；圖象

幾何畫板（The Geomters Sketchpad，簡稱GSP）是一款適用于數學、物理等學科，可以進行矢量分析、作圖、函數作圖等操作的動態幾何工具.由于它能夠動態地展現出函數圖象和幾何對象的位置關系及運行變化規律，深受廣大教師的青睞，也是不少數學教師在備課、上課中不可或缺的教學軟件之一.然而，即便是功能如此強大的幾何畫板，仍舊在繪制分段函數這一方面顯得不夠“體貼”和“人性化”，這也或多或少地限制了教師對它的開發與使用.因此，本文基于5.04版的幾何畫板，針對如何在幾何畫板中繪制分段函數的圖象進行研究.

一、在幾何畫板中作限定定義域的初等函數的圖象

類型1 初等函數在定義域內連續

例1 作函數f（x）=x2-2x+，x∈[0，3]的圖象.

操作步驟：

（1）在“繪圖”——“繪制新函數”的對話框中直接輸入函數表達式x^2-2*x+1/2得到函數f（x）=x2-2x+在R上的圖象.

（2）點擊函數圖象選中，右擊選擇“屬性”（如圖1），可在欄目“繪圖”內設置函數的定義域邊界的數值（如圖2），點擊確定可得到函數f（x）=x2-2x+，x∈[0，3]的圖象.

上述操作步驟的優勢在于操作比較便捷，只要在幾何畫板內對函數圖象進行簡單設置便可實現，主要適用于在定義域上連續的初等函數.

類型2 初等函數在定義域內不連續

例2 作函數f（x）=x2-2x+，x∈[0，1]∪[2，3]的圖象.

操作步驟：

（1）構造函數F（x）=x2-2x++0·.

（2）在“繪圖”——“繪制新函數”的對話框中輸入函數表達式x^2-2*x+1/2+0*sqrt[-x*（x-1）*（x-2）*（x-3）]，點擊確定可得到函數f（x）=x2-2x+，x∈[0，1]∪[2，3]的圖象（如圖3）.

雖然函數F（x）中0·的值恒為0，但要使得其有意義，即解不等式-x（x-1）（x-2）（x-3）≥0，可解得x∈[0，1]∪[2，3]，這恰好為所畫函數f（x）的定義域.因此，函數f（x）與函數F（x）本質上是相同函數.

一般地，對于限定定義域的初等函數f（x），通過構造得到函數f（x）的相同函數F（x）的方式有下列8種情況：

1.函數f（x）的定義域為[a，b]，可構造函數：F（x）=f（x）+0·.

2.函數f（x）的定義域為（a，b]，可構造函數：F（x）=f（x）+0·.

3.函數f（x）的定義域為[a，b），可構造函數：F（x）=f（x）+0·.

4.函數f（x）的定義域為（a，b），可構造函數：F（x）=f（x）+0·ln[-（x-a）（x-b）]或F（x）=f（x）·.

5.函數f（x）的定義域為（a，+∞），可構造函數：F（x）=f（x）+0·ln（x-a）或F（x）=f（x）·.

6.函數f（x）的定義域為[a，+∞]，可構造函數：F（x）=f（x）+0·.

7.函數f（x）的定義域為（-∞，b），可構造函數：F（x）=f（x）+0·ln（b-x）或F（x）=f（x）·.

8.函數f（x）的定義域為（-∞，b]，可構造函數：F（x）=f（x）+0·.

二、在幾何畫板中作分段函數的圖象

例3 作分段函數f（x）=2x-1，x≤13-x，x>1 的圖象.

方法1 先將分段函數f（x）拆分為兩個函數，即f1（x）=2x-1（x≤1）和f2（x）=3-x（x>1），然后再分別作上述兩個函數的圖象.

操作步驟：

（1）構造以下兩個函數，F1（x）=2x-1+0·和F2（x）=3-x+0·ln（x-1）.

（2）在幾何畫板的同一文檔頁面內的“繪圖”——“繪制新函數”的對話框中分別輸入函數表達式2^x-1+0*sqrt（1-x）和3-x+0*ln（x-1），分別點擊確定后可得到函數f1（x）和f2（x）的圖象，兩者可組成函數f（x）=2x-1，x≤13-x，x>1 的圖象（如圖4）.

方法1的本質是拼接了函數f1（x）和f2（x）的圖象，雖然可以使人在視覺上感覺在同一坐標系下作出了f（x）的圖象，但其缺陷也是顯而易見的，比如說函數f（x）圖象并非一次成圖，函數圖象也不能被整體選中，并且在圖象上任取的一點更不可以在分段函數f（x）各段的圖象上自由移動.因此，方法1所繪制的函數圖象有較大的局限性，不適合用以研究函數f（x）的性質.

方法2 利用符號函數sgn（x）=1，x>0，0，x=0，-1，x<0.構造函數f（x）的相同函數F（x），通過繪制函數F（x）的圖象得到分段函數f（x）的圖象.

操作步驟：

（1）構造函數F（x）=（2x-1）+（3-x）.

（2）在“繪圖”——“繪制新函數”的對話框中輸入函數表達式（2^x-1）*[1+sgn（1-x）]/2+（3-x）*[1+sgn（x-1）]/2，點擊確定后可得到函數f（x）=2x-1，x≤13-x，x>1 的圖象.

方法2巧妙地利用了分段函數的特點，彌補了方法1中不能一次成圖、無法整體選中、取點無法自由移動等缺陷.函數F（x）中所構造的和用于匹配其所乘函數的定義域的范圍.具體地，當x<1時，和分別為1和0，則此時F（x）=2x-1，同理，當x>1時，F（x）=3-x.因而，類似地，對于分段函數g（x）=g1（x），x≤a，g2（x），ab.（a

=g1（x）·+g2（x）·+g3（x）·.

較之方法1，方法2已有明顯的改進，彌補了方法1的諸多缺陷，同時也是目前較為普遍的一種處理方式.但即便如此，方法2仍存在不完美之處.對于函數f（x）=2x-1，x≤13-x，x>1 ，當取x=1時，

f（1）=0，而對于函數F（x）=（2x-1）+（3-x），當取x=1時，F（1）=0·+2·=1≠f（1）.由于幾何畫板中孤立的點不被顯示，這使得上述問題常常被忽略.其實通過觀察和分析不難發現，造成上述偏差的主要原因是函數y=雖然可以在x>1和x<1時分別取得1和0，但當x=1時的取值卻是，而非0，從而使得F（1）≠f（1）.因此，要想借助符號函數sgn（x）得到分段函數f（x）的相同函數，就必須重新構造3-x所乘函數的關系式.

方法3 對方法2進行改進，重新構造2x-1和3-x的所乘函數，分別為k1（x）=sgn[1+sgn（1-x）]和k2（x）=sgn[1+sgn（x-1）]·sgn|x-1|.

操作步驟：

（1）構造函數F（x）=（2x-1）·sgn[1+sgn（1-x）]+（3-x）·sgn[1+sgn（x-1）]·sgn|x-1|.

（2）在“繪圖”——“繪制新函數”的對話框中輸入函數表達式，（2^x-1）*sgn[1+sgn（1-x）]+（3-x）*sgn[1+sgn（x-1）]*sgn[abs（x-1）]點擊確定后可得到函數f（x）=2x-1，x≤13-x，x>1 的圖象.

方法3構造了y=k1（x）和y=k2（x）兩個函數，當x>1時，由于1+sgn（x-1）=0，所以k1（x）恒等于0，由于1+sgn（x-1）>0，|x-1|>0，k2（x）恒等于1；同理可得，當x<1時，k1（x）恒等于1，k2（x）恒等于0，而當x=1時，1+sgn（x-1）>0，|x-1|=0，仍能保證k1（x）恒等于1，k2（x）恒等于0.

類似地，利用相同的原理，根據不同定義域下的函數，可構造出其所對應的不同的所乘函數k（x），具體如下：

1.當x≤a時，構造k（x）=sgn[1+sgn（a-x）].

2.當x

3.當x≥b時，構造k（x）=sgn[1+sgn（x-b）].

4.當x>b時，構造k（x）=sgn[1+sgn（x-b）]·sgn|x-b|.

5.當a≤x≤b時，構造k（x）=sgn[1+sgn（x-a）（b-x）].

6.當a

7.當a≤x

8.當a

對于一個含有n（n∈N*）段的分段函數f（x），其每一段所對應的解析式為fi（x）（1≤i≤n，i∈N*），根據上述方法，可以構造出fi（x）所對應的所乘函數ki（x），再令F（x）=[fi（x）·ki（x）]，則f（x）

與F（x）為相同函數.因此，只需在幾何畫板“繪圖”——“繪制新函數”的對話框中輸入函數表達式后再點擊確定，即可得到函數f（x）的圖象.至此，在幾何畫板中繪制分段函數圖象這一問題才最終得以真正解決.

？誗編輯 趙飛飛