合作交流靈動課堂

顧燕菊

多元變量求最值是模擬卷中及歷年高考命題中的熱點問題，因其變量多、技巧性強、難度大、方法多、綜合能力要求較高，難以打開思路，學生普遍感覺棘手，大多是費盡周折，難以找到解題的思路和切入點，所以每次遇到學生都比較害怕。“多元變量的最值問題”要求學生能熟練利用基本不等式及其變形形式等知識來解決，對學生的綜合能力要求較高。為此這節課通過小組合作、自主探究、展示交流，發展學生的思維，把課堂還給學生，讓學生在探究中消除恐懼，在合作中提升思維，在交流展示中提升自信。在教學過程中充分發揮主觀能動性，挖掘學生的潛能，充分調動學生的興趣，在這樣的氛圍中學生能更多地掌握數學思想和方法，真正地愛上數學。

基于此，設置本節課的教學目標如下：

1.課前學生完成活動導學單的熱身訓練，完成小組間的交流，探討求最值的常用方法，總結多元變量最值（范圍）的一些常用方法。

2.對近階段的題進行回顧，對原題進行適當的變式，對一類題能夠得到系統的理解，對多元變量最值進行探索，凸顯高考的重點，能根據題目特點選取恰當的方法。

3.通過多元變量最值的研究，感受數學思想方法，培養學生歸納總結的習慣。

活動一：完成熱身訓練，總結求多元變量最值的常用方法

1.已知正數a，b滿足2a+b=1，則4a2+b2的最小值為

設計意圖：本題的最小值既可以通過消元來完成，也可以通過配成已知條件的形式用基本不等式來解決，在消元過程中強調范圍意識，在基本不等式過程中強調基本不等式的完整性，特別是等號成立的條件。

2.已知x2+y2=1，則x+y的最大值為

設計意圖：本題相對比較簡單，三角換元和線性規劃學生比較容易想到，已知條件是二次的形式，也可以令z=x+y，變形得y=-x+z，回代得到4x2-2zx+z2-1=0用“？駐”法解決。

3.已知m，n均為實數，則（m-n）2+（m-Inn）2的最小值為____

設計意圖：在解決數學問題時，重視式子結構特征的分析與把握，探究式子的幾何意義，把抽象的代數式與直觀的幾何圖形結合起來，換一個角度審視問題，從而找到解決問題的突破口。

4.已知a+b+c=0，a2+b2+c2=1，則a的最大值為______

設計意圖：上面三個總結了二元變量求最值的常用方法，從二元擴展到三元，將思想方法進行遷移，本題的解法多樣化。消元后可利用方程思想，用“？駐”法，也可進行三角代換。強調三元的處理模式一般對三元的進行減元，再用二元的方法去處理。

熱身訓練設計意圖：通過課前熱身訓練、小組探究、展示交流，讓學生復習總結多元變量求最值的常用方法：（1）消元（注意自變量的取值范圍）；（2）基本不等式（注意完整性，特別是等號取到的條件）；（3）換元；（4）“？駐”；（5）幾何意義。對于三元變量的最值一般減元處理。對于熱身訓練的這些題，難度適中，便于學生展開思考；一題多解，對二元最值問題的一個拓展與延伸，讓學生掌握基本思想方法的同時發散學生的思維，變量由二元變成了三元，難度加大的同時，也讓學生對所學知識有新的認識和嘗試，有利于培養學生分析與解決問題的能力。由小組派學生講解小組的解法，由其他小組進行質疑和補充，充分發揮學生課堂主動性，老師在適當的時候總結歸納，培養學生自主探究、合作交流的能力，在交流中得到自信，在課堂中得到快樂。

活動二：典型例題

處于高三的沖刺階段，所以活動二中的題都是比較典型的題目，啟發學生在練習中多思考，達到做一題、會一類、通一片的目的，培養學生舉一反三的發散思維能力。

1.已知正數x，y滿足x+y=1，求+的最小值。

解：+=（+）（x+y）=9++≥9+4

當且僅當=，即x=，y=時取等號。

設計意圖：最基本的題目，“1”的妙用，做到人人都會。基本不等式是解決幾個正數之和與積互相轉化的依據，特別是在求最值時，一定要緊扣“一正二定三相等”三個條件。

變式1：已知實數x，y滿足x>y>0且x+y=1，求+的最小值。

解：令x+3y=s，x-y=t，得s+t=2，=1

∴+=+=（+）（s+t）=（3++）≥+

當且僅當=，即s=4-2，t=2-2時取等號。

設計意圖：變式1帶有一定的技巧性，通過觀察分母的形式得到和為定值，通常把分母看成一個整體進行換元，回歸到“1”的妙用。

變式2：已知正數x，y，滿足x+y=1，求+的最小值

解：法1：消元：y=1-x>0，x∈（0，1），∴+=+，令f（x）=+，f′（x）=-2，令f′（x）=0，得x=，x∈（0，），f′（x）<0，f（x）單調遞減，x∈（，1），f′（x）>0，f（x）單調遞增

∴x=時，+的最小值為8

法2：+====-

x+y=1≥2，xy≤，當且僅當x=y=時取等號

=t∈[4，+∞），∴原式=t2-2t=f（t），∴當t=4時，f（t）的最小值為8

法3：+=（+）（x+y）2=1+++++1≥8

當且僅當x=y=時取等號。

設計意圖：發散學生思維，體驗多元變量的一題多解，適當歸納。也從題中強調細節，方法1的變量的取值范圍，方法3的兩次用基本不等式，強調檢驗取等號的條件是否一致。

2.已知a，b為正實數，且（a-b）2=4（ab）3，則+的最小值為_____

法1：從結論出發：+=

（a-b）2=（a+b）2-4ab=4（ab）3，∴（a+b）2=4（ab）3+4ab

（+）2=（）2==4ab+≥8

當且僅當ab=1時，即a=1+，b=-1時取等號。

法2：構建齊次：（a-b）2=a2-2ab+b2=4a3b3，∴-+=4ab

∴（-）2=（+）2-=4ab，∴（+）2=4ab+≥8

當且僅當ab=1，即a=1+，b=-1時取等號。

設計意圖：蘇錫常鎮二模的題，回顧做法，增強信心。法1從結論出發，根據結論要的a+b和ab的形式從題目中構建，非常完美地用了基本不等式；法2通過齊次化配方構造后用一次基本不等式。本題已經處于一張試卷的最后一個填空題，在學生的交流展示中得到自信是關鍵。

3.若正數a，b，c成等差數列，則+的最小值為

法1：∵2b=a+c，∴a=2b-c，∴+=+=+

令=t（t>0），得原式=+=

f′（t）=令f′（t）=0，得t=4±

t∈（0，4+），f′（x）<0，f（x）單調遞減

t∈（4+，+∞），f′（x）>0，f（x）單調遞增∴t=4+時，

f（t）取得最大值

法2：∵2b=a+c，∴a=2b-c，∴+=+

令5b-2c=s，2b+c=t，即b=，c=-

∴原式=+=+≥，當且僅當s=t時取等號。

設計意圖：減元是突破這類題型的關鍵，聯系前面二元最值的基本解題策略，將思想方法進行遷移。變為二元變量的最值后，學生容易看出可通過齊次來解決，分母上是多項式，也可把分母看成一個整體來解決，三元變量的處理給學生以更開闊的視野，有利于學生較系統全面地認識并掌握解題過程中所蘊含的數學思想方法。總的來說，上述三個例題，以典型例題為引，推動學生感悟理解數學知識，理清知識與思想方法的脈絡，達到能力提升的目的。

求解多元變量的最值問題，歸根結底需要完成兩個步驟：（1）索因搭橋定方向；（2）多化一二減變量。熟記幾個常用的方法，會讓解題過程事半功倍。在最后的半個月中，要達到做一題、學一法、會一類、通一片。本節課的設計重在方法歸類，明確數學的基本方法，也適當拓展，更有助于啟迪學生的智慧，將學得的知識融會貫通，通過巧妙地變形、換元、轉化，化歸為熟悉問題，挑戰較難的題，收獲成功的喜悅。多元變量最值的基本方法在課上由學生展示完成，課上合作、對話、質疑、交流，思維碰撞，氣氛活躍，在競爭中進步。在教學過程中充分發揮學生的主觀能動性，挖掘學生的潛能，調動學生的興趣。小組合作增強學生間的交流，培養學生發言和交流的習慣，鍛煉學生思維的敏捷性，培養團隊精神，體現學生的主體地位。我們老師在課堂中多探索、多反思、多總結，找到自己的定位，讓我們把握好“越位”和“缺位”，使課堂教學更精彩，使我們的學生更有活力。

編輯 趙飛飛