一道向量問題的探究

李海軍

新課程標準明確提出，注重培養學生的數學思維能力是數學教育的基本目標之一，數學思維能力包括自主探究、動手實踐、合作交流、閱讀自學等，在課堂教學中注重培養學生的思維能力，教學生學會思考是每一位數學教師的首要任務，同時也是教學中最有研究價值的問題.經過多年的教學實踐，我們發現，學生對于一道較難解答的數學問題，面對的第一個障礙就是思維，審題關過不去，不知從哪里入手，有的學生對題意理解不透徹，不知道向哪一方面的知識點轉化，有的學生對于多個知識點不能很好地融合，問題的根源是這些學生的思路沒有打開，找不到這些知識點之間的聯系，數學邏輯思維能力沒有得到鍛煉.下面以一節習題探究課為例，探索如何讓學生在教師的引導下，一步步地對條件進行轉化，找到知識點間的關聯，以及如何對條件進行整合，從多角度去考慮問題情景，從而使學生的思維能力得到一定的提升.

一、呈現問題，情景探索

在平面向量的數量積一節中，由于向量問題的抽象性，很多學生不懂得如何利用已知條件，對題意不能很好地把握，不能有效地進行思維的發散，從而失去解題的機會.以下是一道向量問題：

例 若，，均為單位向量，且·=0，（-）·（-）<0，求+-的最大值.

該問題是學生學案上的一道例題，正確率較低，題意中涉及3個向量，很多學生感覺不好做，就不敢去研究了，有的得到了答案，但是對于本題所蘊含的數學思想還不能很好地把握，問題比較嚴重.因此，對本題作必要的探究，充分地滿足他們需要釋疑的心理需求，會更好地體現該題的教育價值作用和數學的思維方式.如何對該題作問題的初探，進而激發學生的探究熱情，實現培養學生邏輯思維能力的目標呢？以下是課堂實錄（整理后）.

師：同學們，平面向量數量積的定義是什么？

生：·=cosθ，其中θ是與的夾角。

師：很好，就是說兩個向量相乘，需要知道它們的模與夾角.對于題目所給的條件如何進行轉化？比如，，為單位向量，·=0，可以得到什么？

生：模都為1，與垂直.

師：（-）·（-）≤0呢？

（學生感到不太好轉化，有的學生還在思考，教師覺得還要再給點提示）

師：想不出了嗎？（-）與（-）都是什么？它們相乘可以處理？

生1：都是向量，可以先用向量的乘法把括號打開.

師：嗯，這是一種方案，大家試一試.

（生1上黑板演示，得到·（+）≥1）

師：很好，下面同學都得到了吧.下面看所求的+-可以怎么轉化？

生：肯定是平方，對于向量和與差的模都是先平方再開方的.（+-）2=2+2+2-2·（+）.只需將·（+）≥1代入上式可得到+-≤1

師：很好，大家看，這種解法運用了平面向量數量積的定義以及運算法則，需要注意的是，在得到·（+）≥1后，不要打開括號，把它整體代入（+-）2的展開式中.還有其他方法嗎？

生2：可以用坐標法，設=（1，0），=（0，1），=（x，y），

師：很好，請你上來演示一下，其他同學在下面做。

（以下為生2板演過程）

（1-x，-y）·（-x，1-y）≤0

得到x2+y2≤x+y

∵x2+y2=1

∴x+y≥1

又+-2=3-2（x+y）≤1

師：做得不錯！同學們再想想，向量的坐標還可以怎么設？可以設成角為變量嗎？

生3：可以，設=（cosθ，sinθ）

師：很好，請同學們代入試一試.

（學生演算，教師查看學生求解過程后做總結）

cosθ+sinθ≥1

=+-2=3-2（cosθ+sinθ）≤1

教師總結：通過對一道求向量模長問題的探究，我們分別利用了向量數量積的定義、向量的坐標表示.同學們在思考此類問題時，要多從知識點間的聯系以及它的延伸拓展等方面去轉化，希望通過這一個問題的研究能對大家思維能力的提高有一定的促進作用.

二、課后反思

通過上面例題的分析，在教師的問題串引領下，學生對試題的知識點初探、思路突破、課中交流、課上展示、解法比較、方法拓展，完善知識體系，強化數學基礎知識和基本方法，提升分析問題和解決問題的能力.

1.通過一系列的問題串，構建知識間的聯系，培養學生思維能力

數學中的任何一個知識都不可能是孤立的，知識點之間總是存在著一定的聯系.比如由向量相乘自然想到數量積、坐標運算等，由向量的模等于1，可以聯系單位向量、單位圓等知識.我們在教學中要自然地把這些知識間聯系的思想滲透給學生.

數學習題課究竟該怎樣上？多年的教學經驗告訴我們，要為學生的學而上.在習題課中，不能只是解題，要注重培養學生分析問題與解決問題的能力，更不是去強記解題方法，數學不是機械的東西，當學生思維卡殼時，教師不能著急，不要急于把所有方法拋給學生，而要通過問題串的形式，一步一步引導，把學生的思維慢慢打開，營造班級聯動的探究環境，適當的表揚評價，科學的問題引領，激發學生的真正思考，“問題是數學的心臟”，沒有問題就沒有數學，一系列問題的提出不僅促進了學生思維能力的整合，也進一步促進了學生數學表征的優化.

2.借助師生互動，通過探究式教學，實現知識建構

美國心理學家布魯納說“探索是數學的生命線”，數學的本質就是思維.課標指出要注重培養學生的思維能力，對教師來講，習題課不好上，就題講題就落入俗套，一節好的習題課要時時滲透著解題的思想和方法，從而追求思維的貫通和方法的靈活運用.上課時教師要重點關注學生的方法是怎么想到的，為什么要這樣想，是通過題意展開的思考還是靈光一現式的聯想，從而充分暴露他的思維過程.一堂習題探究課，讓學生都能“動起來”，師生都能進入享受數學的狀態，這就是一節好的習題課.當然，學生思維能力的培養并不是一朝一夕的事情，需要我們教師耐心地指導，帶著學生一起去分析，長此以往，我們會和學生一起進步.

參考文獻：

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