一道不等式的評講歷程

季長征

摘 要：在當(dāng)今課堂教學(xué)中，需要教師采用最恰當(dāng)?shù)牟呗詫χR進行加工重組，引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識并激發(fā)學(xué)生的求知欲，高三復(fù)習(xí)課的主要任務(wù)就是引導(dǎo)學(xué)生對所學(xué)知識進行系統(tǒng)的歸納整理，通過問題引入、題型設(shè)計建立不同解題思路，讓學(xué)生有全新的認識，不斷提高他們提出問題、分析問題、解決問題的能力。

關(guān)鍵詞：不等式；數(shù)學(xué)歸納法；解題過程；課堂教學(xué)

在高三考試中經(jīng)常遇到這類不等式，筆者嘗試以專題的形式加以評講，旨在從紛繁的解法中找到一些可以掌握的規(guī)律，提煉一些模型，幫助學(xué)生建構(gòu)知識體系，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，本著以“以學(xué)生為主體，師生合作”的原則，和學(xué)生一起探索。

下面是一道原題“數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，Sn為其前n項和，且an，Sn，a2n成等差數(shù)列。（3）正數(shù)數(shù)列{cn}，令ab=（cn）n+1，（n∈N*）。求數(shù)列{cn}中的最大項。”此題共有三問，我截取了最后一問，由第一問可知an=n，因此cn=，要求數(shù)列{cn}中的最大項，即轉(zhuǎn)化為研究數(shù)列{cn}的單調(diào)性，就變?yōu)樽Cnn+1>（n+1）n（n≥3，n∈N*），筆者就如何用專題課講解此不等式同大家一起分享。

證明：nn+1>（n+1）n（n≥3，n∈N*）

師：該不等式是在什么條件下成立？是否有提示語在里面？

生1：大于等于3的正整數(shù)。

師：對，在遇到與正整數(shù)的有關(guān)命題，我們通常想到什么方法？

生1：數(shù)學(xué)歸納法。

師：下面請生1用數(shù)學(xué)歸納法完成此題。

生1：①當(dāng)n=3時，34>43，所以原不等式顯然成立。

②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥3）時結(jié)論成立，即kk+1>（k+1）k成立，也就是>1，則當(dāng)n=k+1時，

師：生1在此卡住了，你覺得怎么由向轉(zhuǎn)化。

生1：（k+1）2>k（k+2）由此得>，

故（）k+1·（k+1）>（）k+1·（k+1）=>1

即（k+1）k+2>（k+2）k+1，故當(dāng)n=k+1時亦成立，綜上原不等式成立。

師：數(shù)學(xué)歸納法是一種由特殊到一般，從有限到無限思想的重要數(shù)學(xué)方法，是數(shù)學(xué)界的“多米諾骨牌”，此方法難點在想到用真分數(shù)性質(zhì)，及如何運用好假設(shè)。學(xué)生解決此題能夠體會數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)所在。

生2：老師，我覺得不等式nn+1>（n+1）n（n≥3，n∈N*）右邊是正數(shù)，所以我把右邊除了過來，我下面沒走下去。

師：你卡殼的地方是？

生2：我把原數(shù)列作商后得==，此式和1比較很困難。

師：你是否嘗試帶大于等于3的幾個數(shù)試一試的？

生2：老師我算過了，我想到了！它是一個遞減數(shù)列。

師：那下面怎么處理呢？

生2：構(gòu)造新的數(shù)列dn=變?yōu)檠芯繑?shù)列{dn}的單調(diào)性，

∵===[]n+1<1

∴dn+1

所以<1（n≥3，n∈N*），即nn+1>（n+1）n（n≥3，n∈N*）。

師：數(shù)學(xué)解題過程是在曲折中前進的，遇到問題從而產(chǎn)生新的思路，在思維不斷求變的過程中，學(xué)生認識問題的能力得以提高，解題能力得到錘煉。

生3：老師我也想到證明單調(diào)性，但開始時我就轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)y=的單調(diào)性，然后不知道怎么處理了。

師：原數(shù)列cn=，只要知道數(shù)列{cn}的單調(diào)性，最值自然解決。問題可以轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)y=的單調(diào)性，問題對符合函數(shù)的求導(dǎo)你們還記得嗎？

生4：我知道！∵y=x，∴l(xiāng)ny=lnx兩邊求導(dǎo)得·y′=故y′=·x

這樣的求導(dǎo)方式讓很多學(xué)生覺得驚奇不已，我讓學(xué)生4到黑板上演示了詳細過程，班級的氣氛再次熱烈起來。

師：現(xiàn)在請生3繼續(xù)完成吧。

生3：好的，當(dāng)x∈[e，+∞]時，y′<0，即y=在[3，+∞）上單調(diào)遞減，

所以cn（n+1）n（n≥3，n∈N*）。

師：生4用的知識我們暫時不會，大家想想我們就沒有其他方法了嗎？

班級一片寂靜……過了一會兒，我看到學(xué)生一籌莫展，做了一點提示，我們能不能將函數(shù)變變形，將它變成大家熟悉的函數(shù)求導(dǎo)呢？

生5：老師我覺得可以構(gòu)造一個函數(shù)，由lny=lnx，變形為y=e，然后對它求導(dǎo)。

y′=（e）′e·，當(dāng)x∈[e，+∞）時y′<0，即y=在[3，+∞）在上單調(diào)遞減，同上。立即班級響起了雷鳴般的掌聲，班級的氛圍再次掀起了高潮。

師：研究數(shù)列單調(diào)性時，注意不能直接求導(dǎo)，數(shù)列雖是特殊的函數(shù)，但它不連續(xù)，所以要轉(zhuǎn)化為函數(shù)求導(dǎo)，當(dāng)對求導(dǎo)遇到困難時，在將函數(shù)y=x變?yōu)閥=e過程中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)的化歸思想，化未知為已知，化陌生為熟悉。

師：這時，我趁熱打鐵。常規(guī)方法你們都已經(jīng)說了，而且講的非常棒。現(xiàn)在我來問大家對這個函數(shù)f（x）=熟悉嗎？大家異口同聲說：“熟悉。”那么我們能不能把這道題向這個方面轉(zhuǎn)化呢？

生6：老師，我想到了，他激動得站了起來。將不等式nn+1>（n+1）n兩邊取自然對數(shù)，得到（n+1）lnn>nln（n+1），即<，因此可以構(gòu)造函數(shù)f（x）=（x∈[3，+∞）），∵f′（x）=<0，∴f（x）在x∈[3，+∞）上單調(diào)遞減。

當(dāng)n+1>n≥3時，f（n+1）（n+1）n。

師：太棒了，將一道陌生的題目轉(zhuǎn)化為我們大家再熟悉不過的題目了。要證此不等式nn+1>（n+1）n成立，想到數(shù)學(xué)的對稱性，把n+1和n各放在一側(cè)，想到了兩邊取自然對數(shù)，從而領(lǐng)悟出數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系可以通過對題目的結(jié)構(gòu)理解而產(chǎn)生，利用數(shù)學(xué)上結(jié)構(gòu)的對稱美產(chǎn)生了思維的火花。化未知為已知，化陌生為熟悉。

課堂教學(xué)要基于學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，使所有學(xué)生都有所發(fā)展，盡量利用課本后課中出現(xiàn)的一些好素材，同時根據(jù)教學(xué)目的，采取橫向或縱向的發(fā)散，讓問題落腳點在大家熟悉的區(qū)域，通過教師引導(dǎo)，師生共同探究，師生共同感受到數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美和完整美，最終目的是學(xué)生探究感悟數(shù)學(xué)的精髓，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

編輯 劉瑞彬