全站儀中間法測量套用視線高法公式的推導分析

陳曉暉

（廣西交通職業技術學院，廣西 南寧 530023）

0 引言

全站儀中間法在各種論文專著中多有論述，但基本都過于深奧繁雜且沒有一個統一的計算公式，一般人難以看懂，不利于此法的推廣。本文根據高差（VD）的定義，結合水準視線高法測量原理，提出了套用視線高法公式應用于全站儀中間法測量中的概念，推導出簡單實用的中間法高程測量計算公式，并對此公式進行應用驗算和誤差計算。經檢驗，測量精度可達到二等水準測量標準，證明了此公式的正確性和實用性。

1 全站儀高程測量方法

全站儀三角高程測量有兩種方法，分別是對向觀測法和中間法。測量教材里采用的是對向觀測法，但該方法其實并不科學：每一個測站都需要對中整平，測站點和待測點之間必須通視，在消除誤差方面也有一定的缺陷，最致命的是每個測站都需量取儀器高，但儀器高很難精確量取，尤其在山區，如測站點剛好設在凹處，根本無法量取儀器高，因而顯得效率低且精度不高。而中間法測量則簡捷得多，只需要儀器整平，且精度最高還可達二等水準測量標準，完全適用于各種大中型工程的測量，故在工程測量中以中間法進行高程測量更為合理。

2 全站儀中間法高程測量計算公式的推導及應用

2.1 高差（VD）的定義與水準測量視線高法的關聯

全站儀中間法高程測量與水準高程測量在儀器測量步驟方面完全一致，不同的是觀測對象。水準儀觀測的是水準尺，水準讀數只有正數，而全站儀觀測的是反射棱鏡，高差值有正有負。全站儀里的高差（VD）指的是被觀測的棱鏡鏡高對全站儀儀高的差值，通俗地說就是棱鏡鏡高（V）減去儀器的儀高（i），用公式表示為VD＝V－i。由于在一個測站里，無論全站儀觀測哪個方向，它的儀器高和水準儀一樣，都是維持不變的，而水準儀的儀高就等于水準測量的視線高。同理，我們可以把全站儀的儀高也等同于全站儀的視線高，將水準測量視線高公式套用于全站儀中間法測量中，依據觀測對象的不同，對視線高公式作一些必要的改動，最終推導出全站儀中間法高程測量公式。

2.2 中間法高程測量計算公式的推導

先列出水準測量視線高法計算公式：

視線高＝后視點高程＋后視讀數

任意點高程＝視線高－任意點讀數

從圖1我們可以看出，全站儀視線高＝后視點高程＋棱鏡高－高差。兩相對照，可以得出：（1）水準測量后視讀數＝后視點棱鏡高－后視點高差；（2）任意點讀數＝任意點棱鏡高－任意點高差。為了更直觀地對接視線高法，可以在“棱鏡高－高差”兩邊加上括號。

所以，全站儀中間法高程測量公式可推導成：

視線高＝后視點高程＋（后視點棱鏡高－后視點高差）

任意點高程＝視線高－（任意點棱鏡高－任意點高差）

圖1 中間法儀器架設示意圖

我們把視線高取作J，后視點亦是已知點可以取作BM，把棱鏡高取作V，把高差取作VD，任意點取作n，則全站儀中間法高程測量計算公式可列式為：

如果在這個測站里，棱鏡高沒有變化，則公式可簡化為：

2.3 計算公式的應用

全站儀中間法高程測量的計算表格可參照水準視線高法的表格，下面舉例計算。為了更具說服力，所列舉數據除了一般數據外，還專門列出一些特殊的數據，比如棱鏡高0.5和棱鏡高－2。

例：道路中線測量，已知水準點BM1＝95.00m，水準點BM2＝95.21m，求各中樁高程（如下頁表1所示）。

視線高J1＝95.00＋（1.3－0.8）＝95.50 H020＝95.50－（1.3＋0.5）＝93.70

H040＝95.50－（0.5－1.0）＝96.00

H060＝95.50－（－2.0－3.0）＝100.50

ZD前＝95.50－（1.6－1.5）＝95.40

視線高J2＝95.40＋（1.3－2.0）＝94.70

H080＝94.70－（2.8＋2.6）＝89.30

H100＝94.70－（1.3＋3.5）＝89.90

復核：fh＝95.20－95.21＝－0.01（m）＝－10（mm）＜fh容＝±50＝±45（mm）

表1 全站儀中間法高程測量計算例表（m）

2.4 全站儀中間法高程測量精度分析

由中間法儀器架設示意圖（圖1）可看出，采用中間法對待測點進行測量，其精度主要受斜距S1和S2、豎直角1和2、待測點棱鏡高V1和V2、大氣折光系數K1和K2的影響，無關儀器高。

2.4.1 全站儀中間法高差中誤差計算相關參數分析

2.4.1.1 測距中誤差 ms

在一個測站只使用一臺儀器，認為在對已知點和待測點觀測過程中此式可成立：ms1＝ms2＝ms

2.4.1.2 測角中誤差 m

測角中誤差來源于儀器誤差和觀測誤差。

（1）儀器誤差屬于系統誤差，主要為儀器精度劃定，比如使用測角精度為5″級的全站儀，則儀器誤差為5″，而使用測角精度為0.5″級的全站儀，儀器誤差為±0.5″。

（2）觀測誤差包括目標偏心誤差、讀數誤差、照準誤差，觀測誤差值等于這三個誤差值的平方再開根號。

目標偏心誤差指對中桿偏移而導致的豎直角測角誤差。測角精度越高的儀器誤差值越小，對于0.5″級全站儀可取目標偏心誤差值為0。

因全站儀讀數是屏幕直接顯示，故讀數誤差為儀器本身的系統誤差，對于0.5″級的全站儀，可取讀數誤差為±0.5″。

照準誤差與觀測者眼睛瞄準判斷的能力以及全站儀望遠鏡的放大倍數有關，一般會取±2″。

則觀測誤差m觀＝＝2.06″。

而測角中誤差m等于儀器誤差0.5″平方＋觀測誤差2.06平方再開根號，推出m＝＝2.1″。

2.4.1.3 大氣折光系數中誤差 mK

大氣折光系數的大小主要取值于空氣的密度，而空氣密度是變化的，不同時段的系數值存在誤差，從研究得知，折光系數誤差一般為±0.03～±0.05，因而可以取中間值mK＝0.04。

根據以上的分析論述，可得出在已知點A和待測點B這兩點間的高差中誤差mhAB＝2sin2×＋2 D2×／ρ2＋1／2 R2×D4×m2K。

由公式可知，mhAB的數值大小是隨豎直角α及水平距離D的大小而變化的。為了進一步檢測所推導的中間法公式的測量精度，現采用徠卡TS60全站儀進行中間法高程測量，儀器測角精度為±0.5″、測距精度為±0.6mm＋1ppm，最后算出不同豎直角α和水平距離D所對應的每測站高差均值中誤差，數據見表2，再換算成以每km為單位的高差中誤差，見表3。

表2 徠卡TS60全站儀中間法測量高差均值中誤差計算值表

表2 徠卡TS60全站儀中間法測量高差均值中誤差計算值表

注：＝mhAB

水平距離D（m）20°10 0.09 0.10 0.11 0.13 0.16豎直角α 1° 4° 7° 10° 15°2.06 0.22 20 0.18 0.20 0.21 0.23 0.25 0.28 30 0.30 0.31 0.32 0.34 0.35 0.36 40 0.40 0.40 0.41 0.41 0.42 0.44 50 0.50 0.50 0.51 0.51 0.52 0.53 60 0.61 0.61 0.61 0.62 0.63 0.63 70 0.70 0.70 0.71 0.71 0.72 0.73 80 0.80 0.80 0.81 0.82 0.82 0.83 90 0.91 0.92 0.92 0.92 0.93 0.94 100 1.01 1.01 1.02 1.02 1.02 1.03 200 2.03 2.03 2.04 2.04 2.05

把上表換算成以每km為單位后的高差中誤差mhABKM計算值如表3所示：

表3 徠卡TS60全站儀中間法測量每km高差中誤差計算值表

表3 徠卡TS60全站儀中間法測量每km高差中誤差計算值表

注：＝mhAB，n為每km測站數

水平距離D（m）20°10 0.74 0.76 0.81 0.90 1.28豎直角α 1° 4° 7° 10° 15°3.56 1.60 20 1.01 1.06 1.09 1.13 1.21 1.41 30 1.23 1.26 1.29 1.33 1.41 1.52 40 1.46 1.46 1.48 1.51 1.55 1.62 50 1.60 1.62 1.63 1.65 1.67 1.73 60 1.72 1.79 1.83 1.86 1.88 1.92 70 2.01 2.01 2.03 2.05 2.06 2.08 80 2.15 2.15 2.16 2.17 2.17 2.20 90 2.23 2.25 2.25 2.25 2.25 2.28 100 2.26 2.26 2.28 2.28 2.28 2.31 200 3.51 3.51 3.53 3.54 3.54

按《國家一、二等水準測量規范》《國家三、四等水準測量規范》的規定：

二等水準測量每km：偶然中誤差MΔ≤1.0mm，全中誤差Mw≤2.0mm；

三等水準測量每km：偶然中誤差MΔ≤3.0mm，全中誤差Mw≤6.0mm。

通過對比表3計算出的中誤差值mhABKM可得出以下結論：

（1）當觀測角≤7°且兩待測點間水平距離≤20m時，采用0.5″級全站儀進行中間法測量，其精度可達到二等水準測量的精度標準。

（2）當觀測角≤20°且兩待測點間水平距離≤200m時，采用0.5″級全站儀進行中間法測量，其精度可達到三等水準測量的精度標準。

總結以上結論，可以得出：采用本文推導出的中間法高程測量公式進行高程測量，其精度可達到二等水準測量標準，完全符合各類大中型建設工程的高程測量精度要求。

3 結語

綜上所述，全站儀中間法高程測量套用水準測量視線高法的公式，在作了一些改動后所推導出的新公式，計算簡單明了，精度達標，無論是對一般測量數據還是特殊測量數據，都能方便快捷地計算出結果。相比于那些高深玄奧的論述，這項公式的掌握對工程技術人員來說沒有任何難度，對于全站儀中間法高程測量的應用具有重大的意義。