數學核心素養的理解與生成路徑——以高中數學課程為例

朱立明，胡洪強，馬云鵬

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數學核心素養的理解與生成路徑——以高中數學課程為例

朱立明1，胡洪強2，馬云鵬3

（1．唐山師范學院 教育學院，河北 唐山 063000；2．伊犁師范學院 人文分院，新疆 伊寧 835000；3．東北師范大學 教育學部，吉林 長春 130024）

數學核心素養是數學課程改革的新指向，是數學教育的培養目標．基于對高中數學課程中數學核心素養6個維度：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析的理解，提出數學核心素養的生成路徑：（1）依靠數學抽象過程生成數學抽象核心素養；（2）憑借數學理性思維生成邏輯推理核心素養；（3）利用數學綜合實踐生成數學建模核心素養；（4）通過數學問題解決生成直觀想象核心素養；（5）借助數學算法算理生成數學運算核心素養；（6）依賴數學統計思維生成數據分析核心素養．

高中數學課程；數學核心素養；維度理解；生成路徑

1 研究背景

1.1 國際教育發展的訴求：走向以人為本的理念

隨著科學與信息技術日新月異地更替，全球化的進程正在加速，世界各國綜合國力的競爭日趨激烈．這種競爭主要體現在經濟發展與社會變革的角逐，最終轉化為深層的以人才為中心的競爭．無論是哪個國家或者地區，都已經將提升國民素養，培養能夠迎接21世紀挑戰的新型人才作為謀求發展道路上的共同主題[1]．針對這樣的國際背景，教育應該回歸以人為本，人是教育的起點與歸宿．教育旨在促進人的全面持續發展，尊重和關愛人的生命本性，培養人的社會屬性與個性．通過個體自我價值的實現推動社會的發展，從而保證人的發展與社會發展和諧統一，這是國際背景下的新世紀教育的訴求．

1.2 中國課程改革的指向：追求核心素養的目標

課程改革是以課程為核心，涉及到整個教育領域的系統改革，它的基礎是價值觀念的重大變化和方向的重新調整，包括課程的理念、目標、結構、管理、方法與評價等方面．新中國成立以來算得上真正意義的“課程改革”只有5次[2]．以核心素養為目標對課程在文本層面與實踐層面進行改變，一方面從“三維目標”走向“核心素養”為課程改革深化發展帶來新指向，有利于實踐教育改革的育人價值；另一方面，從“知識本位時代”走向“核心素養時代”是課程改革的新思路，有利于解決知識無限與時間有限之間的矛盾，總之，圍繞核心素養這一目標組織課程改革已經成為中國熱門的研究課題[3]．

1.3 高中數學標準的修訂：堅持學科素養的落實

學生發展核心素養培養的最終落腳點必然是基于學科[4]，人們用來有效處理生活與工作過程中所需的技能、知識、信念、氣質、思維習慣等是核心素養學科化后的具體表現．所謂學科核心素養，就是指學科的思維品質和關鍵能力．一個人成功的基礎，包括知識的掌握、思維方法和經驗積累[5]．在新一輪的高中數學課程標準修訂過程中，已經將數學核心素養明確寫入標準，并以此指導數學課程的組織與實施，在堅持“雙基”的合理內核下，通過恰當的數學情境，在感悟“數學基本思想”，積累“基本活動經驗”的同時將形成和發展數學核心素養作為數學教學的核心要求．

2 高中數學核心素養的理解

2.1 高中數學核心素養維度的詮釋

2011—2013年，教育部組織了對高中數學課標實驗稿實施情況的調查研究．2014年12月8—9日，教育部召開“普通高中課程標準”修訂工作啟動會暨第一次工作會，標志著高中課程標準修訂工作正式拉開了帷幕．在這次修訂稿中，不僅對高中數學課程結構、學業質量標準、高考改革等方面進行改進，更重要的是將數學核心素養寫入標準，這預示高中數學核心素養在一段時期內都是重點研究問題．在高中數學課程中，數學核心素養具有如下3個特征：一是能夠通過后天培養獲得；二是與特定情境相關；三是可以借助外在行為進行表現．目前，修訂稿中將高中數學核心素養確定為數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析，下文將分別對每一個數學核心素養進行闡述[6]．

2.1.1 數學抽象

數學抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數學研究對象的思維過程．數學抽象是對某一類事物或現象關于量的共同本質屬性的描述，這里的量包含數學中的數與形兩個方面．作為數學基本思想之一，數學抽象促進了數學概念及其關系的建構，推動了數學學科的產生和發展．數學概念的抽象有兩個途徑，其一是從現實具體存在中抽象獲得，其二是借助相關數學符號或者類比獲得．例如球的概念形成可以通過對現實世界中各種球類物理屬性（顏色、材料、質地等）的舍棄，從得到所有球類的共同本質屬性（大小與結構），即球的概念，也可以通過類比圓的概念，將平面圖形拓展至空間圖形得到球的概念．無論是哪一種途徑的數學抽象，都使數與形脫離了直觀意義與經驗意義上的存在，形成一般性概念、結構和規律，并且用數學符號予以表征，經過數學抽象，數學意義的表達才更具一般性．

2.1.2 邏輯推理

邏輯推理是從一些事實和命題出發，依據邏輯規則推出一個命題的思維過程．邏輯推理包括兩類，第一類是由特殊出發的合情推理，推理形式有歸納和類比，歸納推理是從特殊到一般的推理，類比推理是從特殊到特殊的推理．高中數學的歸納推理主要表現為完全歸納，具有整體性，需要驗證研究對象的每一個個體，是一種用有限表示無限的思維．類比推理是根據兩個或兩類事物具有相同或相似的屬性，利用已知領域某些對象的相似特征的一致性構建其它的一致性，例如式與數的類比、立體與平面的類比、多維與一維的類比、無限與有限的類比．合情推理是從經驗過的東西推斷未曾經驗過的東西，用于發現猜想；第二類是由一般到特殊的演繹推理，演繹推理需要前提，大前提是基礎，通常為一般性的原理，小前提是橋梁，包含于大前提之內，結論是在小前提下產生的，只要大前提正確，邏輯規則無誤，得到的結論便是真實的[7]，因此，演繹推理是收斂性的證明方式，用于驗證猜想．數學具有兩大歷史淵源：一是以古希臘數學為代表的演繹體系；二是以古代中國數學為代表的歸納體系．正如波利亞指出的：“數學具有兩個面……以歐幾里得方式表現出來的數學看上去是一種系統的演繹科學；但在形成過程中的數學看上去卻是一種實驗性的歸納科學．”[8]邏輯推理是數學理性思維的主要形式，旨在發現與論證數學命題，邏輯推理的意義不僅在于保證數學命題的正確性并具有充分的說服力，還揭示了各定理之間的內在聯系，使數學構成一個嚴密的體系，從而實現數學的公理化．

2.1.3 數學建模

數學建模是對現實問題進行數學化處理，用數學語言表達問題、用數學知識與方法構建模型解決問題的過程．數學建模是聯系數學世界與現實世界之間的橋梁，完整的數學建模過程包括3個階段，第一個階段是建模階段，這個階段通過利用數學的眼光發現問題，借助數學思維對問題進行分析，通過數學語言對問題進行表達，構建數學模型，實現從現實世界到數學世界的過渡；第二個階段是求解階段，這個階段主要是利用數學知識與技能對模型求解，得到結果；第三個階段是調試階段，這個階段是通過對模型的反思、調整和改進，驗證數學結論與實際問題的契合程度．數學建模是在深入調查研究、了解對象信息、做出簡化假設、分析內在規律等工作的基礎上，將數學應用于數學之外的情境，通過構建數學模型，運用數學思想、方法和知識解決實際問題的基本手段，體現了數學的創新意識與應用意識．數學建模不僅有利于激發學生學習數學的積極性，而且有利于推動數學發展的動力．

2.1.4 直觀想象

直觀想象是借助幾何直觀與空間想象感知事物的形態與變化，利用幾何圖形理解和解決數學問題的過程．直觀想象包括幾何直觀與空間想象兩個層面的內容，幾何直觀是通過圖形生動性與形象性來直觀清晰地描述與分析數學問題，實現抽象思維與形象思維之間的轉換，將某些復雜的數學問題簡單化．例如高中數學中用圖形解決集合問題、最值問題、交點個數問題、數列問題等，通過建立數與形之間的聯系，構建數學問題的直觀模型，有助于把握數學問題的本質，從而找到問題的切入點，探索問題解決的思路，使問題得以解決；三維空間是人類生存的現實空間，因此，認識空間圖形，培養和發展學生空間想象能力是非常必要的．高中數學中空間想象包括3個方面內容：第一，掌握描述空間圖形的符號語言；第二，掌握空間圖形與直觀圖形之間的相互轉化；第三，能夠對空間幾何體進行分解與組合，并分析新幾何體的數量和位置關系．總而言之，直觀想象是對事物本質和發展規律的認知和理解，是建立數學直覺的基本途徑．

2.1.5 數學運算

數學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的過程．數學運算是數學活動的基本形式，也可以將其視為演繹推理的特殊情況，是獲得數學結果的重要手段．在科學與計算機技術迅猛發展的今天，數學運算的重要地位與作用日益得到凸顯，已經成為日常生活的必備素養，是學生學習數學的前提與基礎．數學運算是借助運算進行的數學思考，作為半獨立的數學力量，數學運算不受數學家個人意圖的控制，而是由公式本身規律推動其前進，數學運算往往能夠強行推出新概念和新運算．對于數學運算的理解關鍵在于對通性通法的理解．數學運算作為數學抽象結構的基本要素，不僅能夠使學生的思維更加條理化、清晰化，還能培養學生的意志力與創新能力．

2.1.6 數據分析

數據分析是針對研究對象獲得相關數據，運用統計方法對數據中的有用信息進行分析和推斷，形成知識的過程．數據分析是統計學中的重要內容，它可以為人們制定決策提供依據．如果說描述確定性現象的數學培養的是學生確定性思維，那么統計與概率就是通過找出客觀事物的統計規律性與隨機現象中的客觀規律性，來培養學生的隨機思維和因果推斷思維．因此，在對某一對象進行研究時所收集的數據具有一定的隨機性，也正是因為數據本身具有隨機性，人們才能夠通過數據整理，提取有用的信息，進而從中獲得規律性的結論．在如今的大數據時代，人們所提及的數據不僅包括通過記錄、調查和試驗獲得的數據，還包括通過互聯網、文本、聲音、圖像、視頻等數字化得到的數據．數據分析作為數學應用的主要方法，也是學生的必備素養，其應用已經深入到社會生活和數學研究領域的各個方面．

2.2 高中數學核心素養與“四基”的關系

高中數學核心素養比數學基本技能的范疇更加廣泛，比數學基礎知識更加上位，體現的是數學基本思想，數學核心素養形成的前提是數學基本活動經驗的不斷積累．如圖1所示，從本質上看，數學基本技能是對學生的共性要求，這個共性要求首先是以結論或答案的正確為重點，正確的基礎之上再考慮合理性；從功能上看，數學基本技能的關鍵功能在于經過數學思考，尋求方法完成數學任務．當然，每個學生技能水平的高低與自身差異和任務的難度有關．數學基礎知識是數學概念、公理、原理、公式、命題的知識集合，是由理論、方法、問題和符號語言等多種成分組成的復合體，每一個數學核心素養都涵蓋了數學知識，而數學運算核心素養與數據分析核心素養集中體現了數學基本技能．高中數學核心素養超越了數學教育中長期以來的數學知識與數學技能二元對立的思維方式，是基于“雙基”又高于“雙基”的．數學核心素養以數學基礎知識和基本技能為載體，培養學生數學綜合能力（外顯表現），引導學生形成數學思維與數學態度（內隱特質）．

高中數學核心素養蘊含著數學基本思想，史寧中教授指出數學學科發展所依賴的思想在本質上有3個：抽象、推理、模型．而這3個數學基本思想恰恰體現了高中數學課程中的3個核心素養：數學抽象、邏輯推理、數學建模．數學抽象保證數學從現實世界進入數學世界，邏輯推理保證數學自身公理化體系的不斷發展與完備，數學建模保證數學從數學世界回歸現實世界[9]．如果說“雙基”指向結果性目標，那么數學基本活動經驗就指向與過程性目標，主要包括實踐的經驗和思維的經驗，數學的實踐一般包括兩種：動手參與的實踐與大腦參與的實踐，所以實踐的經驗形成源于對日常生活中問題的解決；而思維的經驗主要是指演繹思維經驗與歸納思維經驗．無論是實踐的經驗還是思維的經驗，都具有內隱性，二者與數學核心素養一樣，都是形成于教學活動之中．高中數學核心素養伴隨著學生基本活動經驗的積累而不斷提升，數學基本活動經驗之目的在于培養學生數學核心素養，例如直觀想象中就體現著學生從具體到抽象的活動經驗，邏輯推理體現了學生從感性到理性的活動經驗．

圖1 數學核心素養與“四基”關系

3 高中數學核心素養生成路徑的探索

3.1 依靠數學抽象過程生成數學抽象核心素養

數學抽象主要包括數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出來的數學概念及其之間的相互關系．函數是高中數學核心內容，高中的數學抽象主要集中體現在函數概念形成過程上，因此可以借助函數這一抽象概念，培養學生感悟數學抽象的不同層次，引導學生生成數學抽象核心素養．函數最早源于人們對動點軌跡的探索，變量的引入實現了函數第一次抽象，這時的函數概念還具有一定的描述性；當人們很少限制函數表達式，而轉向采用對應來定義函數就實現了函數第二次抽象，這時的函數概念不再是對一個過程的描述，法則的引入使函數脫離了圖像、表格、表達式的具體表現形式，依賴于集合的對應使函數更加抽象；礙于對應法則的模糊不清，布爾巴基學派開始采用關系來定義函數時，這實現了函數的第三次抽象，這時函數的概念最為抽象，函數概念不需要對應法則而成為一種關系．函數概念的3次抽象是數學從幾何觀念到代數觀念，再到對應觀念的發展過程．數學抽象需要學生積累從具體到抽象的數學活動經驗，通過對概念、命題、定理的理解，把握事物的數學本質屬性，逐步形成一般性思考問題的方法．

3.2 憑借數學理性思維生成邏輯推理核心素養

邏輯推理主要包括合情推理與演繹推理兩種推理形式，對于邏輯推理核心素養的生成關鍵在于培養學生清晰的、有條理的、合乎邏輯的理性思維品質．所謂數學理性思維是指通過觀察、體驗、經歷及內化等過程逐步形成理性的思考問題、分析問題、解決問題的思維方法和價值觀[10]，理性有兩個方面的意義：一是指屬于判斷、推理等活動的理性認識；二是指從理智上控制行為的能力．無論是對判斷、推理等活動的理性認識，還是理智上控制行為的能力，都與邏輯推理密不可分．

圖2 合情推理的推理模式

3.3 利用數學綜合實踐生成數學建模核心素養

數學建模包括在實際情境中從數學視角發現問題、提出問題、分析問題、構建模型，求解結論，驗證結果并改進模型，最終解決實際問題，如圖3所示，數學建模是從現實世界抽象出數學問題，進入數學世界，再通過解決數學問題，最終回歸現實世界的過程．數學綜合實踐包含兩個層面，一是理解數學內容在知識、問題和方法上的聯系，綜合運用數學知識和方法解決數學問題；另一個是數學內容與現實問題的綜合，利用數學知識和方法解決現實問題．在數學建模過程中，蘊含著綜合實踐的兩個層面，在數學模型求解過程中涉及綜合實踐的第一個層面，在構建數學模型與數學模型還原過程中涉及綜合實踐第二層面．在高中數學中，數學綜合實踐更多通過應用題的形式展開，以實際生活為背景，實現數學知識生活化與實際問題數學化的結合．Mayer曾經提出數學問題解決的兩個重要成分：問題表征和解決計劃的執行[12]．因此在數學建模核心素養生成過程中，關鍵在于通過綜合實踐的兩個層次的訓練，培養學生用數學的眼光發現問題，用數學的思維思考問題，用數學的方法解決問題．

圖3 數學模型解決現實問題結構

3.4 通過數學問題解決生成直觀想象核心素養

直觀想象包括借助空間認識事物的位置關系、形態變化與運動規律；利用圖形描述、分析數學問題；建立形與數的聯系；構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路．直觀想象集中體現在利用幾何直觀與空間想象解決數學問題，因此，要在數學問題的解決過程中，將問題表征、圖式構建與學生思維有機結合，從而生成直觀想象核心素養．對于幾何直觀而言，建立形與數的聯系是幾何直觀的內核，以此為基礎培養學生數形結合思想方法在問題解決過程中的應用．高中數學中體現數與形結合的核心知識包括函數與方程、向量、解析幾何，以函數為例，函數的單調性中蘊含著函數的形態變化與規律，函數的奇偶性展現了圖象的對稱關系，除此之外，函數還可以作為研究曲線與方程的直觀模型．例如，可以借助函數圖象研究切線與導數的關系，借助函數零點解決方程的近似根問題，等等，利用“形”的方法處理解析幾何中的代數問題往往會使抽象、復雜的問題形象化、簡單化，這些都可以培養學生的幾何直觀；對于空間想象，可以從向量的視角分析立體幾何的相關問題，利用向量解釋空間圖形的運動變換與位置關系，利用三視圖描述二維與三維之間的聯系，形成新的問題解決思路，培養學生的空間想象，由此在問題解決過程中增強學生運用圖形和空間想象思考問題的意識，促進直觀想象核心素養的形成[13-18]．

3.5 借助數學算法算理生成數學運算核心素養

3.6 依賴數學統計思維生成數據分析核心素養

數據分析主要包括收集數據，整理數據，提取信息，構建模型對信息進行分析、推斷，進而獲得結論．如果說數學能夠告訴人們完美準確的答案，那么統計思維就是為人們提供可能的想象空間．在數據分析中所產生的數據具有隨機性，統計思維就是機率控制、減少、預測資料的變異，可見，依賴數學統計思維可以養成數據分析核心素養．統計思維是在收集數據、從數據中提取信息、論證結果的可靠性過程中表現出來的一種思維模式．在高中數學中有很多蘊含統計思維的典型案例，例如普通高中數學課程必修3中涉及的“一個著名的案例”、“城市居民月用水量”、“人體的脂肪百分比與年齡之間的關系”，在選修2-3中涉及的“人的體重與身高的關系”、“新藥是否有效”、“肺癌與吸煙有關嗎”等，需要充分利用這些案例，提升學生的統計思維．數據分析表現為3個層面，一是對數據本身的意識與感悟，學生要了解生活中有許多問題應當先進行調查，在收集與分析數據之后做出合理推斷，在這一過程中學生能夠體會數據中蘊含著信息；二是對數據處理方法的意識和感悟，了解同樣的數據可以有多種分析方法，要根據不同的情境選擇合適的方法進行分析；三是對現實現象隨機性的意識和感悟，通過數據分析體驗隨機性．意識到對于同樣的事情每次收集到的數據可能不同，但只要有足夠的數據就可以從中發現規律，利用樣本的數據估計總體，利用獨立性檢驗進行推測診斷．數據的隨機性表現在兩個方面，一方面是對于同樣的試驗，每次收集到的數據可能不同，另一方面，只要有足夠的數據還是能夠從中發現規律，例如頻率與概率．通過讓學生經歷數據收集、整理，信息提取、分析的過程，借助數據中所蘊含的信息做出決策和推斷，感受數據產生的隨機性與預測性，建立“用數據說話”的觀念和意識，進而逐漸養成數據分析核心素養．

[1] 林崇德．21世紀學生發展核心素養研究[M]．北京：北京師范大學出版社，2016：2-3．

[2] 謝翌，馬云鵬，張治平．新中國真的發生了八次課程改革嗎[J]．教育研究，2013，34（2）：125-146．

[3] 朱立明．基于深化課程改革的數學核心素養體系構建[J]．中國教育學刊，2016（5）：76-80．

[4] 鄭毓信．數學教育視角下的“核心素養”[J]．數學教育學報，2016，25（3）：1-3．

[5] 史寧中．推進基于學科核心素養的教學改革[J]．中小學管理，2015（10）：19-21．

[6] 洪燕君，周九詩，王尚志，等．《普通高中數學課程標準（修訂稿）》的意見征詢——訪談張奠宙先生[J]．數學教育學報，2015，24（6）：35-39．

[7] 朱立明，馬云鵬．基于新課標的學生數學價值感悟研究[J]．數學教育學報，2014，23（5）：33-35．

[8] 波利亞G．怎樣解題[M]．上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2002：序．

[9] 史寧中．數學思想概論——數量與數量關系的抽象[M]．長春：東北師范大學出版社，2008：1．

[10] 李藝，鐘柏昌．談“核心素養”[J]．教育研究，2015，36（9）：17-23．

[11] 外爾·赫爾曼．數學與自然科學之哲學[M]．齊民友，譯．上海：上海科技教育出版社，2007：195．

[12] 辛自強．數學應用題解決研究的理論進展——兼論表征復雜性模型[J]．寧波大學學報（教育科學版），2004（5）：13-18．

[13] 王光明，衛倩平，趙成志．核心素養視角下的跨學科能力測評研究[J]．中國教育學刊，2017（7）：24-29．

[14] 曹一鳴，于國文．中學數學課堂教學行為關鍵性層級研究[J]．數學教育學報，2017，26（1）：1-6．

[15] 喻平．數學核心素養評價的一個框架[J]．數學教育學報，2017，26（2）：19-23．

[16] 常磊，鮑建生．情境視角下的數學核心素養[J]．數學教育學報，2017，26（2）：24-26．

[17] 李昌官．數學抽象及其教學[J]．數學教育學報，2017，26（4）：61-64．

[18] 王婭婷，毛秀珍．數學素養的測量及評價[J]．數學教育學報，2017，26（3）：73-75．

Understanding and Generating Paths of Core Mathematics Competencies——Take Mathematics Curriculum in High School as an Example

ZHU Li-ming1, HU Hong-qiang2, MA Yun-peng3

(1. Tangshan Normal University Faculty of Education, Hebei Tangshan 063000, China;2. Yili Normal University Faculty of Humanities, Xinjiang Yining 835000, China;3. Northeast Normal University Faculty of Education, Jilin Changchun 130024, China)

Mathematical core competencies was the new direction of the reform of new mathematics curriculum , and had become the training goal of mathematics education. With the six dimensions in mathematics core competencies in the high school curriculum would be comprehended: mathematical abstraction, logical reasoning, mathematical modeling, intuitive imagination, mathematical operation, and data analysis. After that the generating paths of mathematics core literacy would be elicited: (1) create the mathematical abstract core competency through mathematical abstract process; (2) improve mathematical rational thinking and cultivate logical reasoning core competency; (3) generate mathematical modeling core competency through math comprehensive practice; (4) promote intuitive imagination core competency through mathematical problem solving; (5) drive core mathematical operation core competency with the aid of mathematical algorithm and rules; (6) attach great importance to mathematical statistical thinking and form data analysis core competency.

high school mathematics curriculum; core mathematics competencies; dimension comprehension; generating paths

[責任編校：周學智]

2017–11–09

唐山師范學院博士科研基金項目——義務教育階段學生數學核心素養評價與培養實證研究（2018A15）

朱立明（1986—），男，滿族，河北承德人，講師，博士，主要從事數學課程與教學論研究．

G632

A

1004–9894（2018）01–0042–05

朱立明，胡洪強，馬云鵬．數學核心素養的理解與生成路徑——以高中數學課程為例[J]．數學教育學報，2018，27（1）：42-46．