挖掘思想方法 提升解題能力

傅玉

數學學習的內容不僅包括數學結果，也包括數學結果的形成過程和蘊含的數學思想方法.我們在學習過程中，應重視數學思想方法的提煉與積累，這有助于提升自身的解題能力和數學素養.

一、整體思想

整體思想就是從問題的整體性質出發，突出對問題的整體結構的分析和改造，發現問題的整體結構特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子看成一個整體，把握它們之間的關聯，進行有目的、有意識的整體處理.

例1 已知整式x2-[52x]的值為6，求2x2-5x+6的值.

解：∵2x2-5x+6=2（x2-[52x]）+6，

且x2-[52x]=6，

則2x2-5x+6=2×6+6=18.

【點評】本題是一道代數式求值的問題.觀察代數式x2-[52x]和代數式2x2-5x+6，二次項的系數分別是1、2，一次項系數分別是[-52]、-5，它們之間都存在相同的倍數關系，即2x2=2×x2、-5x=2×（[-52x]）.因此，可以將x2-[52x]看成一個整體.這樣的問題用整體思想解決充分體現了數學的簡潔美.

二、分類思想

初中數學從數的研究開始就不斷滲透分類思想.因為，通過分類，我們可以將相同屬性的事物放在一起研究，將不同屬性的事物分開研究.

例2 已知a，b是有理數，ab≠0，求[aa]+[bb]的值.

解：∵ab≠0，∴a≠0，b≠0.

當a>0時，[aa]=1；當a<0時，[aa]=-1；當b>0時，[bb]=1；當b<0時，[bb]=-1.①當a>0，b>0時，[aa]+[bb]=1+1=2；②當a>0，b<0時，[aa]+[bb]=1-1=0；③當a<0，b>0時，[aa]+[bb]=-1+1=0；④當a<0，b<0時，[aa]+[bb]=-1-1=-2.

綜上，[aa]+[bb]的值為2或0或-2.

【點評】本題的條件中只提供了a、b的取值范圍，由于a、b的取值有無數個，不能一一代入直接求值.考慮到絕對值的化簡取決于數的正負性，所以將a、b進行分類，可以將無限個情況簡化為有限種類型，從而簡化問題.

三、數形結合思想

數形結合作為一種數學思想方法，就是借助于數的精確性來描述豐富的圖形世界，達到“以數解形”的目的.借助幾何圖形的直觀性來理清數量之間的某種關系，達到“以形助數”的目的.

例3 現有若干張如圖1的正方形硬紙片A、B和長方形硬紙片C.

（1）小明利用這些硬紙片拼成了如圖2的一個新正方形，用兩種不同的方法，計算出了新正方形的面積，由此，他得到了一個等式： ；

（2）小明再取其中的若干張（三種紙片都取到）拼成一個面積為a2+nab+2b2長方形，則n可取的正整數值為 ，并請在圖3位置畫出拼成的圖形；

（3）根據拼圖的經驗，請將多項式a2+4ab+3b2分解因式： .

【分析】（1）用兩種不同的方法表示同一個圖形的面積，一般來說可以用整體法和局部法.正方形的面積用邊長的平方計算，即（a+b）2；這個正方形還可以看成一張A、一張B、兩張C拼成，所以正方形面積還可以用四塊小圖形的面積和來計算，即a2+b2+2ab.從而得到（a+b）2=a2+b2+2ab.

（2）若用a2+nab+2b2表示一個長方形的面積，則說明這個長方形是由一張A、兩張B、n張C拼成的.因為一張A、一張B、兩張C能拼成一個正方形（如圖4），那么再加一張B（如圖5），就需要再加一張C才能拼成長方形（如圖6）.所以n的正整數值為3.

（3）在（2）的基礎上，再添加一張B、一張C，可以得到如圖7的長方形，長為a+3b，寬為a+b.根據（1）的經驗，可得a2+4ab+3b2=（a+3b）（a+b）.

【點評】我們知道任意一個實數都可以與數軸上的一個點一一對應，這樣的數形結合的思想也可以遷移到一些恒等式與圖形面積的對應關系上來.分析這類問題首先要明確代數式中每一項可以表示什么樣的圖形面積，其次還要弄清這個代數式可以表示什么樣的圖形面積.將兩種圖形的面積統一起來，就可以直觀地解決問題了.

四、符號意識

符號意識主要是指能夠理解并且運用符號表示數、數量關系和變化規律；知道使用符號可以進行運算和推理，得到的結論具有一般性.建立符號意識有助于我們有條理地表達數學思考的過程.

例4 如圖8，在平面直角坐標系中，有若干個橫縱坐標分別為整數的點，其順序按圖中“→”方向排序，如（1，0）→（2，0）→（2，1）→（1，1）→（1，2）→（2，2）…根據這個規律，求第2017個點的橫坐標.

【分析】邊長為0的正方形，有1個點；邊長為1的正方形，有3個點；邊長為2的正方形，有5個點；…，∴邊長為n的正方形有（2n+1）個點，∴邊長為n的正方形邊上與內部共有1+3+5+…+（2n+1）= （n+1）2個點.∵2017=45×45-8，結合圖形即可得知第2017個點的橫坐標為45.

【點評】本題考查了規律題型中的點的坐標，解題的關鍵是找出“邊長為n的正方形邊上點與內部點相加得出共有（n+1）2個點”.自發地用字母表示數，用代數式表示實際意義，是發展符號意識的最佳途徑.用符號表達問題中的數學本質，既清晰又明了，自然地將問題簡化了.

（作者單位：江蘇省南京市寧海中學分校）endprint