厘清概念 掌握運算

在數學解題中，我們對數學概念理解錯誤，或理解不透，又或者思考不全面，對某些解題方法沒有真正掌握等，都容易導致解題出錯.

一、概念不清引起出錯

概念是思維的基本單位，弄清概念是解題的基礎.有理數與無理數，平方根與算術平方根，絕對值，分式等概念，都是解題時容易混淆和出錯的地方.

例1 在實數[5]，[227]，0，[π2]，[36]，-1.414中，有理數有 個.

【解析】[227]是分數，因此是有理數，[36]=6，故[36]也是有理數.故有理數有[227]，0，[36]，

-1.414，共有4個.

【點評】有理數的小數部分是有限或無限循環的數，無理數的小數部分是無限不循環的數.特別地，要注意π是無理數.如果不理解無理數的概念，而僅僅從形式上去判斷，那么容易錯認為帶根號的數（如[36]）都是無理數.也有的同學計算[227]時，前六位小數都沒出現循環節，于是錯認為[227]也是無理數.有的同學還將[π2]錯認為分數，而分數都是有理數，于是錯誤判斷[π2]為有理數.

例2 下列說法正確的是（ ）.

A.±4的平方根是16

B.1的平方根是1

C.[9]的平方根是3

D.2是（-2）2的平方根

【解析】選項A應為16的平方根是±4，A錯；B.正數的平方根有兩個，它們互為相反數，故1的平方根是±1，B錯；∵[9]=3，∴[9]的平方根是[±3]，C錯；∵（-2）2=4，4的平方根是±2，∴2是4的其中一個平方根，D正確.

【點評】本題考查了平方根與算術平方根的定義，我們容易將這兩個概念混淆，理解正數的平方根有兩個，它們互為相反數，負數沒有平方根，0的平方根是0.本題容易混淆B、D兩個選項.

例3 若分式[x-2x+2]的值等于零，求x的值.

【解析】分式的值為零，需滿足兩個條件，一是分子的值等于零，二是分母不等于零.故由已知得，[x-2=0，x+2≠0，]∴[x=±2，x≠-2，]∴x=2.

【點評】在解答這類問題時，容易忽視“分母不為零”這個條件，這是對分式的概念理解不清所致.另外，如果由[x]-2=0得到x=2，這樣雖然結果正確，但過程有誤，這是對絕對值的概念理解不清所致.

二、公式、法則不清引起出錯

運用計算公式或法則進行運算，可以使運算簡便，提高運算速度.但如果對公式、法則記憶不清，理解出錯，容易導致運算出錯.

例4 下列各運算中，正確的是（ ）.

A.（x-2）2=x2-4 B.（3a2）3=9a6

C.x6÷x2=x3 D.x3·x2=x5

【解析】由完全平方公式得（x-2）2=x2-4x+4，A錯；由積的乘方運算得（3a2）3=33（a2）3=27a6，B錯；由同底數冪的除法法則得x6÷x2=x6-2=x4，C錯；由同底數冪的乘法法則得x3·x2=x3+2=x5，D正確.

【點評】此題容易由于對冪的運算法則記憶不清而導致出錯.同時，冪的概念不清，也容易出現33=3×3=9這樣的錯誤.

例5 下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）.

A.x2+y2 B.-x2+y2

C.x2-（-y2） D.-x2-y2

【解析】因式分解的平方差公式是a2-b2=（a+b）（a-b），公式左邊是兩個數的平方差的形式，A與C都是x2+y2，屬于平方和的形式，故A、C錯；-x2-y2=-（x2+y2），也是平方和的形式，故D錯；-x2+y2=y2-x2=（y+x）（y-x），故B對.

【點評】記憶平方差公式時，如果僅是從形式上記憶，認為前項與后項之間用“-”號連接就可以用平方差公式，這樣很容易被選項C或D所迷惑，也容易認為B不正確.

三、思維不嚴謹引起出錯

在解答某些問題時，常因為忽視問題中的隱含條件，或對隱含條件挖掘不充分，導致出現漏解或解答出錯.

例6 若4y2-my+25是一個完全平方式，則m= .

【解析】∵4y2-my+25是一個完全平方式，

∴4y2=（2y）2，25=52，

∴-my這一項應該是±2×2y×5，

∴m=±20.

【點評】需注意的是，完全平方式有兩個：a2+2ab+b2與a2-2ab+b2，解題時容易只考慮第一個而忽略第二個，導致m只取一個值，出現漏解.

例7 已知[m]=4，[n]=6，且m+n=[m+n]，則m-n的值是 .

【解析】由[m]=4，[n]=6得m=±4，n=±6，∵m+n=[m+n]，得m+n≥0，∴m=4，n=6或m=-4，n=6，∴m-n=-2或m-n=-10.

【點評】由m+n=[m+n]得m+n為非負數，錯認為m、n均為非負數，于是由[m]=4，[n]=6得m=4，n=6，導致漏解.

例8 先將[1-1x-1]÷[x2-4x+4x2-1]化簡，再從-1，0，1，2這幾個數中選一個你認為合適的數代入并求值.

【解析】原式=[x-2x-1]×[x+1x-1x-22]=[x+1x-2]，

當x=0時，原式=[0+10-2]=-[12].

【點評】正確解答本題的關鍵是找出題中隱含的條件，保證每一步運算中，分式的分母均不能為零.解題時，我們容易注意到原題中分母不為零的條件，但也容易忽視運算過程中的分母取值范圍，導致選擇數時出錯.

四、數學思想方法不清引起出錯

數軸是規定了原點、正方向與單位長度的直線.在數軸上，實數與數軸上的點是一一對應的.運用數軸，可以實現實數（數）與數軸上的點（形）的互化.但在解決具體問題過程中，常由于忽視“形”位置而導致“數”出錯.

例9 已知表示數a、b的點在數軸上的位置如圖所示，則a、b、-a、-b的大小順序是（ ）.

A.-a

C.-a<-b

【解析】從數軸上可以看出b<0[a]，∴-a<0，-a>b，-b>0，-b>a，即b<-a

也可以由互為相反數的兩個數在數軸上的位置關系得下圖：

于是有b<-a

【點評】運用數軸可以比較兩個實數的大小，從左到右依次變大，而互為相反數的兩個數關于原點對稱.此題容易錯認為b是正數，而-b是負數，忽視表示數b的點的位置.

（作者單位：廣東省深圳市高級中學）