提綱挈領(lǐng)，舉一反三

張麗

一元一次不等式和一元一次不等式組是初中數(shù)學(xué)比較重要的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，也是中考必考的知識(shí)點(diǎn)，其中主要的考核內(nèi)容是：一元一次不等式和一元一次不等式組的概念以及它們的解法.具體考核要求是：一、根據(jù)題目中的大小關(guān)系了解不等式的意義，并且探索不等式的基本性質(zhì)；二、會(huì)解簡(jiǎn)單的一元一次不等式和不等式組，并能用數(shù)軸表示出解集；三、能夠根據(jù)具體的數(shù)量關(guān)系，列出一元一次不等式和不等式組，解決簡(jiǎn)單的問題.

一、考查一元一次不等式的基本性質(zhì)

例1 下列不等式變形正確的是（ ）.

A.由a>b得ac>bc

B.由a>b得-2a>-2b

C.由a>b得-a<-b

D.由a>b得a-2

【分析】本題主要考查不等式的基本性質(zhì)，要求同學(xué)們能夠利用不等式的性質(zhì)熟練變形.

解：∵a>b，

∴①c>0時(shí)，ac>bc；②c=0時(shí)，ac=bc；③c<0時(shí)，ac

∴選項(xiàng)A不正確.

∵a>b，∴-2a<-2b，∴選項(xiàng)B不正確.

∵a>b，∴-a<-b，∴選項(xiàng)C正確.

∵a>b，∴a-2>b-2，∴選項(xiàng)D不正確.

故選C.

【點(diǎn)評(píng)】解決本題的關(guān)鍵是熟記不等式的性質(zhì).（1）不等式的兩邊同時(shí)乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；（2）不等式的兩邊同時(shí)乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變；（3）不等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)含有字母的式子，不等號(hào)的方向不變.

二、考查一元一次不等式的解法

例2 不等式3x≤2（x-1）的解集為（ ）.

A.x≤-1 B.x≥-1 C.x≤-2 D.x≥-2

【分析】本題主要考查的是一元一次不等式的解法，根據(jù)一元一次不等式的解法步驟：去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，計(jì)算即可解決問題.

解：去括號(hào)得，3x≤2x-2，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得，x≤-2，故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】掌握一元一次不等式的解法是解決本題的關(guān)鍵所在.

三、考查一元一次不等式的整數(shù)解

例3 關(guān)于x的不等式x-b>0恰有兩個(gè)負(fù)整數(shù)解，則b的取值范圍是（ ）.

A.-3

C.-3≤b≤-2 D.-3≤b<-2

【分析】本題主要考查的是一元一次不等式的整數(shù)解，根據(jù)題意表示出已知不等式的解集，根據(jù)負(fù)整數(shù)解只有-1，-2，確定出b的范圍即可.

解：不等式x-b>0，解得x>b.

因?yàn)椴坏仁降呢?fù)整數(shù)解只有兩個(gè)，因此-3≤b<-2，故選D.

【點(diǎn)評(píng)】弄清題意是解決本道題的關(guān)鍵所在.

四、考查一元一次不等式組的解法

例4 不等式組[-x<2， （1）2x+1<3 （2）]的解集為 .

【分析】本題主要考查的是一元一次不等式組的解集，解一元一次不等式與解一元一次方程的步驟基本相同，只是在最后“系數(shù)化為1”這一步時(shí)，要注意不等式的方向是否要改變.求不等式組的解集可以先求各不等式的解，然后再找出它們的公共部分（最好先在數(shù)軸上畫出它們的解）.

解：由（1）得x>-2，由（2）得x<1，不等式組的解集為-2

【點(diǎn)評(píng)】找不等式解集的公共部分可以用這個(gè)口訣：同小取小，同大取大；比大的小，比小的大，取中間；比大的大，比小的小，無(wú)解.

五、考查一元一次不等式中參數(shù)的取值

例5 關(guān)于x的不等式組[x-3<0，x-m<0]的解集為x<3，那么m的取值范圍為（ ）.

A.m=3 B.m>3 C.m<3 D.m≥3

【分析】本題考查的是一元一次不等式組解集的意義，首先求出不等式組中各個(gè)不等式的解集，然后根據(jù)已知不等式組的解集確定出m的范圍即可.

解：由不等式組變形得[x<3，x

由不等式組的解集為x<3，得到m的范圍為m≥3，故選D.

【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握不等式的運(yùn)算法則是解決本題的關(guān)鍵，特別要注意等號(hào)成立的條件.

六、考查一元一次不等式在實(shí)際生活中的應(yīng)用

一般的，不等式（組）建模應(yīng)用題題目較長(zhǎng)，解決這類問題，要有一定的閱讀能力，我們需要分清題目的主次，抓住題目的關(guān)鍵.

例6 某公司要將100噸貨物運(yùn)往某地銷售，經(jīng)與一運(yùn)輸公司協(xié)商，計(jì)劃租用甲，乙兩種型號(hào)的汽車共6輛，用這6輛汽車一次將貨物全部運(yùn)走，其中每輛甲型汽車最多能裝該種貨物16噸，每輛乙型汽車最多能裝該種貨物18噸，已知租用一輛甲型汽車需800元，租用一輛乙型汽車需850元，若該公司計(jì)劃此次租車費(fèi)用不超過(guò)5000元，通過(guò)計(jì)算求出該公司有幾種租車方案？請(qǐng)你設(shè)計(jì)出來(lái)，并求出最低的租車費(fèi)用.

【分析】若甲型車租x輛，則甲型車最多可裝貨物16x噸，租用甲型車的費(fèi)用為800x元，乙型汽車租（6-x）輛，乙型汽車最多可裝貨物18（6-x）噸，租用乙型車的費(fèi)用為850（6-x）元，根據(jù)兩種型號(hào)的車最多可裝貨物不低于100噸，兩種型號(hào)車的租車費(fèi)用不超過(guò)5000元，我們可以得到兩個(gè)不等關(guān)系，即：甲型號(hào)車最多可裝貨物+乙型號(hào)車最多可裝貨物≥100噸，甲型號(hào)車租車費(fèi)用+乙型號(hào)車租車費(fèi)用≤5000元，由此我們得到一個(gè)不等式組，從而建立不等式模型.

解：設(shè)甲型汽車租x輛，則乙型汽車租（6-x）輛，根據(jù)題意得：

[16x+186-x≥100，800x+8506-x≤5000，]

解得：2≤x≤4.

因?yàn)檐嚨妮v數(shù)為整數(shù)，即x為整數(shù)，所以x=2，x=3或x=4，即有三種租車方案：

方案一，甲型車租2輛，乙型車租4輛，費(fèi)用為：800×2+850×4=5000元；

方案二，甲型車租3輛，乙型車租3輛，費(fèi)用為：800×3+850×3=4950元；

方案三，甲型車租4輛，乙型車租2輛，費(fèi)用為：800×4+850×2=4900元.

其中，甲租4輛，乙租2輛，租車費(fèi)用最低，最低的租車費(fèi)用為4900元.

【點(diǎn)評(píng)】在解決不等式（組）的應(yīng)用題時(shí)，要認(rèn)真讀題，分析處理好各種關(guān)系，把握問題的主線，由實(shí)際問題抽象為不等式（組）的數(shù)學(xué)問題，其解題程序?yàn)椋鹤x題（實(shí)際問題）——建模（數(shù)學(xué)問題）——求解（數(shù)學(xué)問題的解）——反饋（檢驗(yàn)作答）.

（作者單位：江蘇省太倉(cāng)市第一中學(xué)）