方程，不止于會解

吳存紅　呂俊

方程，不僅是一個知識點，而且是一種方法，更是一種解決問題的工具.初中范圍對方程的考查可不止于解，同學們跟我一起來認識一下考查方程的幾類常見問題，你們在復習的時候可以結合以下類型的問題，逐個突破.

一、基本要求，解方程

例1 （2017·泰州，6分）解方程：[x+1x-1]+[41-x2]=1.

【解析】本題主要考查了分式方程的解法，解分式方程分為三步：（1）去分母，在方程的兩邊同時乘以最簡公分母，把分式方程轉化為整式方程；（2）解整式方程；（3）驗根，把整式方程的解代入最簡公分母，若最簡公分母為0，則整式方程的解不是原分式方程的解，否則，這個解就是原分式方程的解.

解：兩邊同乘（x+1）（x-1），

得（x+1）2-4=（x+1）（x-1）. （2分）

解之，得x=1.（4分）

檢驗：當x=1時，（x+1）（x-1）=0，則x=1是增根.（5分）

所以原分式方程無解.（6分）

二、常規要求，用方程的解

例2 （2017·南通，3分）若關于x的方程x2-6x+c=0有兩個相等的實數根，則c的值為 .

【解析】本題考查了一元二次方程根的判定.共有三種情況：關于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個相等的實數根?b2-4ac=0；關于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個不相等的實數根?b2-4ac>0；關于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）沒有實數根?b2-4ac<0.故答案為9.

例3 （2017·南京，2分）已知關于x的方程x2+px+q=0的兩根為-3和-1，則p= ；

q= .

【解析】本題可以利用一元二次方程的根與系數的關系來求解：-3+（-1）=-p，-3×（-1）=q；也可以由方程的根寫出一元二次方程進行求解：這個方程可以寫為（x+3）（x+1）=0，整理，得x2+4x+3=0；還可以把兩個根代入原方程進行求解.

三、能力要求，列方程

例4 （2017·鹽城，10分）某商店在2014年至2016年期間銷售一種禮盒.2014年，該商店用3500元購進了這種禮盒并且全部售完；2016年，這種禮盒的進價比2014年下降了11元/盒，該商店用2400元購進了與2014年相同數量的禮盒也全部售完，禮盒的售價均為60元/盒.

（1）2014年這種禮盒的進價是多少元/盒？

（2）若該商店每年銷售這種禮盒所獲利潤的年增長率相同，問年增長率是多少？

【解析】本題考查的知識點：利用分式方程解決實際問題；運用一元二次方程解決有關增長率的問題.（1）設出未知數以后，本題的等量關系是“購進了與2014年相同數量的禮盒”，并由此列方程；（2）“增長率相同”的實際問題，呈現數學中的“指數模型”，數量a以相同的增長率x連續增長n年以后的結果是a（1+x）n.連續增長2年相當于n=2.

解：（1）設2014年這種禮盒的進價為x元/盒.（1分）

根據題意得：[3500x]=[2400x-11]，（3分）

解得x=35，（4分）

經檢驗，x=35是原方程的解.

答：2014年這種禮盒的進價是35元/盒.（5分）

（2）設年增長率為a.

2014年的銷售數量為3500÷35=100（盒）.（6分）

所以（60-35）×100（1+a）2=（60-35+11）×100，（8分）

解得：a=0.2或a=-2.2（不合題意，舍去）.（9分）

答：年增長率為20%.（10分）

四、高階要求，方程思想

例5 （2015·蘇州，6分）如圖，已知函數y=[kx]（x>0）的圖像經過點A、B，點B的坐標為（2，2）.過點A作AC⊥x軸，垂足為C，過點B作BD⊥y軸，垂足為D，AC與BD交于點F.一次函數y=ax+b的圖像經過點A、D，與x軸的負半軸交于點E.若BC∥AE，求BC的長.

【解析】本題考查了反比例函數、平行四邊形、相似三角形等知識點.題中需要求出未知點C的坐標才能求解，聯想到“BC∥AE”可以得到△ADF∽△CBF，從而可以列出一個方程求出點C的坐標.在這類函數綜合題中，方程思想顯得非常重要，當問題中存在未知量的時候，都可以嘗試挖掘問題中隱含的等量關系列出方程進行求解.

解：∵點B（2，2）在函數y=[kx]的圖像上，

∴k=4，則y=[4x].（1分）

設A的坐標為（m，[4m]），則點C的坐標為（m，0）.

由BC∥AE，可得△ADF∽△CBF，（2分）

所以[AFCF]=[DFBF]，所以[4m-22]=[m2-m]，（4分）

解得m=1.（5分）

所以點C的坐標為（1，0），BC=[5].（6分）endprint