以形助數 化難為易

陸紅力

著名數學大師華羅庚說過：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微.”這句話道出了數與形之間的緊密聯系.“以形助數”其實就是將抽象的數量關系轉化為直觀的幾何圖形，借助形象思維解決抽象的問題，達到化難為易的目的.本文以不等式（組）為例，通過一個課本題及其變式來說明“以形助數”在中考中的重要應用.

【課本原題】（蘇教版《數學》七下第130頁）求不等式2x-3≤5的正整數解.

【思路分析】先求出不等式的解集，再利用數軸求出正整數解.

【解答】（過程略）1，2，3，4.

【演變過程】本題是在考查解一元一次不等式的基礎上演變而來的.

【考題在線】

變式1：（2017·內江）不等式組[3x+7≥2，2x-9<1]的非負整數解個數是（ ）.

A.4 B.5 C.6 D.7

【思路分析】解出不等式組的解集，數軸上觀察解集，得出不等式組的非負整數解的個數.

【解答】解不等式組[3x+7≥2，（1）2x-9<1. （2）]

解不等式（1）得：x≥[-53].

解不等式（2）得：x<5.

∴不等式組的解集在數軸上表示為：

∴不等式組的解集為[-53]≤x<5，

∴不等式組的非負整數解為0，1，2，3，4，共5個，故選B.

【解后反思】利用數軸直觀清晰地顯示不等式組的解集，非負整數解一目了然.

變式2：（2017·宿遷）已知4

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

【思路分析】先求出不等式組的解集，在數軸上表示解集，觀察數軸，求出整數解.

【解答】解不等式組[x-m<0，（1）4-2x<0. （2）]

解不等式（1）得：x

解不等式（2）得：x>2.

∴不等式組的解集在數軸上表示為：

∴不等式組的解集為2

由圖可知，不等式組的非負整數解為3、4，共2個，故選B.

【解后反思】本題考查解不等式組，因題中有參數，故利用數軸能更清晰地顯示不等式組非負整數解的個數.

變式3：（2017·金華）若關于x的一元一次不等式組[2x-1>3（x-2），x

A.m≥5 B.m>5 C.m≤5 D.m<5

【思路分析】將兩個不等式的解集在數軸上表示，直觀觀察出m的取值范圍.

【解答】解不等式組

[2x-1>3（x-2），（1）x

解不等式（1）得：x<5，

∵解集是x<5，

∴不等式組的解集在數軸上的表示應為：

由圖可知：m>5.

當m=5時符合題意，

∴m的取值范圍是m≥5.

【解后反思】本題為已知含參不等式組的解集，探求參數的取值范圍問題.對于參數的取值范圍問題，一般可分兩個步驟進行：一是動態分析，即讓x

變式4：（2016·涼山州）已知關于x的不等式組[4x+2>3x+a，2x>3x-2+5]僅有三個整數解，則a的取值范圍是 .

【思路分析】先解不等式組，再在數軸上表示，根據僅有三個整數解，確定a的取值范圍.

【解答】解不等式組[4x+2>3x+a，12x>3x-2+5，2]

解不等式（1）得：x>3a-2，

解不等式（2）得：x<1.

∵解集中僅有三個整數解，

∴不等式組的解集在數軸上的表示應為：

由圖可知：-3<3a-2<-2.

當3a-2=-3時符合題意；

當3a-2=-2時不合題意；

∴-3≤3a-2<-2.

a的取值范圍是[-13]≤a<0.

【解后反思】本題是已知含參不等式組整數解的個數，探求參數的取值范圍問題，方法與上題類似.在數軸上看不等式x>3a-2的端點隨a的變化而運動，利用數軸來觀察整數解個數的變化，得出符合條件的取值范圍.

變式5：（2016·大慶）關于x的兩個不等式①[3x+a2]<1與②1-3x>0.

（1）若兩個不等式的解集相同，求a的值；

（2）若不等式①的解都是②的解，求a的取值范圍.

【思路分析】（1）求出不等式②的解集，表示出不等式①的解集，由解集相同求出a的值即可；（2）根據不等式①的解都是②的解，求出a的范圍即可.

【解答】由①得：x<[2-a3]，

由②得：x<[13]，

∴解集在數軸上可表示為：

（1）因為兩個不等式的解集相同，所以兩個解集的端點重合，即：[2-a3]=[13]，解得：a=1.

（2）∵不等式①的解都是②的解，

∴不等式組的解集在數軸上的表示應為：

由圖可知：[2-a3]<[13]，

當[2-a3]=[13]時，符合條件.

∴[2-a3]≤[13]，解得：a≥1.

【解后反思】本題考查的是不等式解集之間的關系.借助數軸，則可攻破難點，同時端點的取舍也要引起同學們的重視.

數與形是數學問題的兩個重要表征.“數形轉化”是一種重要的解題策略，對于幫助我們直觀地解決數學問題有著重要的意義.

（作者單位：江蘇省太倉市教師發展中心）