基于Matlab的牛頓環實驗仿真研究

申惠娟 鄧鋰強 徐祥福 方運良 祁玲敏 賴國霞

(廣東石油化工學院理學院 廣東 茂名 525000)

牛頓環實驗是光學實驗中關于光的干涉現象的重要實驗內容．在生產實踐和科研中，牛頓環也常被用作各種精密測量，如測量入射光波波長，測量介質的折射率，以及測量薄膜的厚度等等，因此學生對該實驗的掌握非常重要．但是，在實驗室中能實現的實驗現象非常有限[1]，目前學生通過實驗室只能觀察到給定波長入射光，給定介質以及給定干涉薄膜下的牛頓環干涉現象，對該實驗的理解易造成思維定勢，不利于學生對知識的認識和理解，更不利于開發學生的知識應用能力和創新能力．因此，通過計算機仿真實現以上各種情況下的牛頓環干涉現象，展現給學生直觀清晰的物理圖像，對該實驗的教學內容是一個必不可少的補充．

Matlab是美國MathWorks公司出品的商業數學軟件[2]，用于算法開發、數據可視化、數據分析以及數值計算的高級技術計算語言和交互式環境，具有簡單易學、可擴展性和交互性的優點，己經被廣泛用于研究和解決各種工程問題．目前利用計算機軟件對該實驗進行仿真的研究也有很多[3～12]，但系統的仿真還比較少，因此，本文將根據牛頓環的干涉原理[13]，擬對影響干涉結果的各項參數進行研究，實現全方位牛頓環干涉規律的仿真效果．

1 牛頓環干涉原理

牛頓環干涉是分振幅等厚干涉，如圖1所示，考慮半波損失，介質薄膜上下兩表面反射光的光程差為

(1)

在某點P處，兩等振幅相干光疊加后的光強分布為

(2)

(3)

將式(1)和式(3)代入式(2)，得

(4)

可見，其干涉結果與透鏡的曲率半徑R，介質的折射率n，入射光波波長λ以及薄膜厚度(d+e)有關，因此在計算機仿真過程中，可通過改變上述參數，觀察牛頓環的變化規律．

圖1 牛頓環干涉結構示意圖

2 利用Matlab仿真不同參數下的牛頓環干涉現象

在Matlab仿真過程中，利用‘meshgrid’和‘imshow’等命令將圖像呈現出來．通過改變透鏡的曲率半徑R，介質的折射率n，入射光波波長λ以及薄膜厚度e得到以下仿真圖像.

2.1 改變透鏡的曲率半徑R

改變透鏡的曲率半徑R得到的仿真圖像如圖2所示.

圖2 改變透鏡曲率半徑R下的牛頓環干涉圖樣

2.2 改變介質折射率n

改變介質折射率n得到的仿真圖像如圖3所示.

圖3 改變介質折射率n下的牛頓環干涉圖樣

2.3 改變入射光波波長λ

改變入射光波波長λ得到的仿真圖像如圖4所示.

圖4 改變入射光波波長λ下的牛頓環干涉圖樣

2.4 改變介質薄膜厚度e

改變介質薄膜厚度e得到的仿真圖像如圖5所示.

圖5 改變介質薄膜厚度e下的牛頓環干涉圖樣

3 結果討論

根據以上仿真結果可見，牛頓環干涉圖像隨著透鏡的曲率半徑R，介質的折射率n，入射光波波長λ以及薄膜厚度e的變化而變化.

3.1 透鏡曲率半徑越小 條紋半徑越小 相鄰條紋間距越小

根據牛頓環干涉原理，可得第k級暗條紋的半徑滿足

(5)

即k，n，λ不變時，R與r2成正比，因此隨著R的增大(減小)，牛頓環半徑也增大(減小).

同理可得，相鄰條紋間距滿足

(6)

即k，n，λ不變時，條紋間距隨透鏡曲率半徑R的增加(減小)而增加(減小).

由此可見，仿真結果與理論一致.

3.2 介質折射率越小 條紋半徑越大 相鄰條紋間距越大

根據式(5)、(6)可見，在k，R，λ不變時，條紋半徑rk和相鄰條紋間距Δr隨著介質折射率n的增加(減小)而減小(增加)．因此，仿真結果與理論一致.

3.3 入射光波波長越大 條紋半徑越大 條紋間距越大

同樣根據式(5)、(6)可見，在k，R，n不變時，條紋半徑rk和相鄰條紋間距Δr隨著入射光波波長λ的增加(減小)而增加(減小)．因此，仿真結果與理論一致.

3.4 改變介質薄膜的厚度e 條紋半徑和條紋間距不變 但是牛頓環的中心圓斑卻出現亮暗程度的變化

在實際做實驗過程中會發現，牛頓環中間有的是亮斑，有的是暗斑，甚至處于亮暗之間的灰色圓斑．通過計算機仿真就可以清楚地了解到產生這種現象的原因．

根據牛頓環的干涉原理可知

令k=0,n=1,d=0，可得：

圖6 牛頓環中心為亮斑和暗斑時的牛頓環干涉圖樣

4 結論與展望

本文基于根據牛頓環干涉原理，通過Matlab程序對牛頓環的干涉現象進行了仿真．仿真過程中改變干涉條件觀察不同情況下的牛頓環干涉現象，仿真圖像清晰，結果合理，因此可以用于實驗及理論教學過程中，有效地彌補由于條件不足所產生的局限．通過程序改變不同參數，直觀地觀察到干涉現象，甚至對實驗結果進行進一步的分析與驗證，以達到對該知識全面的認識與理解，為學生進一步的探索與利用理論知識解決實際問題提供了不可缺少的途徑．

Matlab程序功能強大，且簡單易學，學生在完成該實驗仿真的基礎上，可以進而嘗試對其他物理現象進行仿真，比如光學實驗中的劈尖干涉、邁克爾孫干涉、單縫衍射、光柵衍射等等．因此，將計算機仿真引入到課堂中，可以更好地帶動學生的學習主動性和探索欲望，提高教學效果，為培養學生自主學習能力與創新能力提供基礎．

1 方運良，王德明.大學物理實驗.北京：科學出版社，2016

2 陳垚光.精通Matlab GUI 設計.北京:電子工業出版社，2010

3 陳志歆，李斌.基于Matlab GUI 的牛頓環仿真課件制作.實驗科學與技術，2013，11 (4) :330～333

4 王蘊杰. 基于Matlab 的牛頓環白光干涉實驗仿真.大學物理實驗，2014，27(4)：97～99

5 李玨璇，藍海江.利用七色光仿真白光牛頓環干涉實驗.實驗室科學，2012，15(2):65～67

6 李繼軍.Matlab GUI在光學仿真中的應用.通化師范學院學報，2010，31(2):52～54

7 劉偉.光學干涉光譜的模擬與分析.光譜實驗室，2012，29(1)：516～518

8 王賢平，周華清，桑明煌.《光學》實驗仿真及可視化教學研究——以“牛頓環干涉”為例.鞍山師范學院學報， 2015，17 (6):36～38

9 周黨培，陳業仙.牛頓環實驗的計算機仿真.四川兵工學報，2009，30(7)：139～141

10 宮彥軍，史小飛.牛頓環光學干涉實驗計算機仿真.長春大學學報，2016，26(4)：32～35

11 韋仙，馮中營，康睿丹. 基于MATLAB牛頓環實驗的仿真研究.物理通報，2016(8)：67～69

12 董朝云，王旭軍. 大學物理仿真實驗的應用研究.科技創新導報，2014(23)：241

13 張三慧. 大學物理學(第三版).北京：大學出版社，2008