一道基于鏡像法對電場的嚴(yán)格求解問題

黃志豪 張 雪,2 李 軒 張冠中

(1.東北師范大學(xué)物理學(xué)院,吉林 長春 130024;2.鄭州市第四十二中學(xué),河南 鄭州 450000)

圖1

如圖1所示,x>0和x<0區(qū)域分別充滿電容率ε1和ε2的各向同性線性介質(zhì),x<0區(qū)域有一點(diǎn)電荷Q,它到分界面x=0的距離為d(d<0),求各區(qū)域的電場分布.

文獻(xiàn)[1]將上文作為例題促進(jìn)學(xué)生對鏡像法一節(jié)的理解,隨后在解題步驟中根據(jù)唯一性定理設(shè)出“像點(diǎn)荷的大小為q′,位置x=-d”作為條件進(jìn)行求解,這是典型的“嘗試法”解題思路.盡管最后結(jié)果正確,但由于解題過程不甚嚴(yán)格,導(dǎo)致部分學(xué)生對其理解存在困難,同時也不利于學(xué)生對鏡像法基本思想的準(zhǔn)確把握,甚至有部分學(xué)生產(chǎn)生了“利用鏡像法求解場方程表達(dá)式一般不可準(zhǔn)確求解”的錯誤思想.本文提出了一種嚴(yán)格求解的方法得到場方程表達(dá)式,并作出相互正交的等勢線和電場線簇圖形,討論了分界面兩側(cè)介質(zhì)電容率之比對圖形的影響.

1 場問題的嚴(yán)格求解

記x>0區(qū)域電勢為φ1,x<0區(qū)域電勢為φ2.

定義

首先對x>0區(qū)域電勢分析,根據(jù)唯一性定理,可設(shè)像點(diǎn)荷為Q′(a,0,0)(a<0).則x>0空間任一點(diǎn)電勢可表示為

(1)

對于x<0區(qū)域電勢,同理可設(shè)像點(diǎn)荷電量為Q′(b,0,0)(b>0).則x<0空間任一點(diǎn)電勢可表示為

(2)

根據(jù)邊值關(guān)系,分界面x=0上有

φ1|x=0=φ2|x=0.

(3)

(4)

即

(5)

(6)

a=-b,Q′=-Q″.

(7)

(8)

同理可得Q″=ηQ,Q′=-ηQ,a=-b=d,即

a=-b=d,ra=rd,ra′=rb′=rd′.

(9)

(10)

利用E=-φ得電場強(qiáng)度

(11)

(12)

式(11)所得結(jié)果和嘗試法所得結(jié)果完全一致,證明本文嚴(yán)格求解的方法是正確的.

2 電場線和等勢線簇圖形

為簡單起見,考慮到Q為固定值,則可將等勢線簇函數(shù)表示為

(13)

(14)

電場線簇函數(shù)為

(15)

(16)

研究ξ對z=0面等勢線和電場線簇圖形的影響,作出對應(yīng)的等勢線和電場線簇圖形,如圖2所示.

設(shè)定參數(shù):點(diǎn)電荷坐標(biāo)Q(-1,0,0),介質(zhì)電容率之比分別為ξ1=15、ξ2=5、ξ3=1、ξ4=0.05.

圖2 z=0平面不同ξ值下電勢電場正交簇圖形

(圖aξ1=15; 圖bξ2=5； 圖cξ3=1； 圖dξ4=0.05)

由圖可知,每處箭頭方向代表電場方向,電勢電場關(guān)于y軸對稱分布,這與帶電體關(guān)于y軸對稱有關(guān),帶電體的對稱性決定了它所激發(fā)電場的對稱性.此外,根據(jù)坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)不變性,可以推測,y=0平面和z=0平面的等勢線和電場線簇圖形一致.ξ的大小對正交簇圖形有一定的調(diào)制作用.以ξ=1為界,當(dāng)ξ>1時,隨著ξ逐漸減小,分界面兩側(cè)圖形逐漸趨于一致,表現(xiàn)為: (1) 同一條等勢線關(guān)于x=-1對稱的區(qū)段對應(yīng)的曲率逐漸趨于一致,電場取向趨于一致; (2) 同一條等勢線與x=-1所圍圖形左右兩側(cè)面積大小趨于一致.ξ=1時,圖形和一放置在線性均勻介質(zhì)中的點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的電勢電場簇圖形相同.0<ξ<1時,ξ對兩側(cè)圖形的調(diào)制作用減弱. 同時也應(yīng)該看到,模擬圖像中(1,0,0)處,即像點(diǎn)荷位置,出現(xiàn)無電勢電場分布的奇點(diǎn),表明鏡像法不能用來求解像電荷所在區(qū)域.

3 結(jié)論

本文靈活運(yùn)用常量變量之間所應(yīng)滿足的對應(yīng)關(guān)系,對場函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行了嚴(yán)格求解,有利于加強(qiáng)學(xué)生對鏡像法的理解.作出相互正交的等勢線和電場線簇圖形,得出電容率比值在不同區(qū)間對電勢電場正交簇圖形的調(diào)制作用效果不同.