花香蝶自來

李德寅

摘 要：本文以北京市兩道中考模擬題為例說明自然解法的應用.

關鍵詞：解題；自然解法

所謂自然之法往往是解決某一類問題的通法，是基于某個基本思路和基本圖形的解答方法.同時一個問題也可能有多種自然之法，因為基本問題有著無可比擬的包容性.以核心概念、核心知識為基點多聯(lián)想，自然解法自會水到渠成.

題目1 （北京市懷柔區(qū)一模28題）在等邊△ABC外側(cè)作直線AP，點B關于直線AP的對稱點為D，連接BD，CD，其中CD交直線AP于點E.

（1）依題意補全圖1；

（2）若∠PAB=30°，求∠ACE的度數(shù)；

（3）如圖2，若60°<∠PAB <120°，判斷由線段AB，CE，ED可以構(gòu)成一個含有多少度角的三角形，并證明.

解 （1）補全圖形，如圖3所示.

（2）如圖4，點D與點B關于直線AP對稱，自然而然聯(lián)想到AP是DB的垂直平分線，想到線段的垂直平分線的性質(zhì)，自然就連接AD，或者ΔAPB與ΔAPD關于直線AP對稱，ΔAPB≌ΔAPD，自然就連接AD.得到AD=AB=DB=BC=AC，四邊形ADBC是菱形，∠ACE=30°.

（3）如圖5，作出B點關于直線AP對稱點D，連接BD、CD，自然想到AP線段BD的對稱軸，直線AP垂直平分BD，想到線段的垂直平分線的性質(zhì)，或想到ΔADP≌ΔABP及ΔEDP≌ΔEBP，得到AD=AB=AC和ED=EB，所以∠ADB=∠ABD，∠EDB=∠EBD；得到∠EDA=∠EBA=∠ACE；由線段AB，CE，ED首尾順次組成的三角形，就可以轉(zhuǎn)化為ΔBEC，利用旋轉(zhuǎn)ΔABE或ΔABE≌ΔECA，得∠ABE=∠ECA，可得∠BEC=60°.

題目2 （北京市懷柔區(qū)一模26題）閱讀下面材料：

小聰遇到這樣一個有關角平分線的問題：如圖6，在△ABC中，∠A=2∠B，CD平分∠ACB，AD=2.2，AC=3.6.求BC的長.

小聰思考：因為CD平分∠ACB，所以可在BC邊上取點E，使EC=AC，連接DE.

這樣很容易得到△DEC≌△DAC，經(jīng)過推理能使問題得到解決（如圖7）.

請回答：（1）△BDE是三角形.

（2）BC的長為.

解 （1）△BDE是等腰三角形.

（2）BC的長為5.8.

參考小聰思考問題的方法，解決問題：

如圖8，已知△ABC中，AB=AC， ∠A=20°，BD平分∠ABC，BD=2.3，BC=2.求AD的長.

題目的自然解法：

此解決問題的思路是截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形.如果利用軸對稱，角的平分線也是這個角的對稱軸，沿對稱軸BD折疊△BCD，C點落在E處，自然就想到連接DE，且△BCD≌△BED，得到∠4=∠7=60°，即∠4=∠3=60°，DE平分∠BDA，沿對稱軸DE折疊△BDE，點B落在點F處，自然想到連接EF，得到△DEB≌△DEF，此問題得解.

幾何類型的解答和證明，常常需要添加輔助線，解無定法，基于基礎知識上聯(lián)想，就會產(chǎn)生自然解法，所以對于教材中的基本知識，基本圖形，基本思想，要筑基，要拓展，要整合.只有打好堅實的基礎，花才會香，蝶自然會來.

參考文獻：

[1]尤維明.探尋解題方法自然生成的源泉[J].中學數(shù)學教學參考，2015（6）49-50.endprint