逆序數(shù)的計(jì)算及應(yīng)用

劉益波

摘 要：逆序數(shù)在行列式的定義中起著非常重要的作用。而對(duì)于初學(xué)者而言，他們比較難理解逆序數(shù)的定義和計(jì)算排列的逆序數(shù)。特別是n階排列的逆序數(shù)的計(jì)算。他們覺得異常的艱難。本文總結(jié)了從4個(gè)角度求逆序數(shù)的方法（“左右后小”方法、“左右前大”方法、“右左前大”方法和“右左后小”方法）。方法的命名其實(shí)就是按照既定的順序和大小的比較來進(jìn)行，很好理解和掌握。并將這些方法應(yīng)用于計(jì)算行列式。這對(duì)于學(xué)生理解逆序數(shù)和計(jì)算行列式具有重要的意義。

關(guān)鍵詞：逆序數(shù) 行列式 應(yīng)用

中圖分類號(hào)：O225 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2018）08（c）-0183-02

Abstract： The inverse number plays a very important role in the definition of determinant. For beginners， it is difficult for them to understand the definition of reverse order and calculate the number of reverse orders. Especially the calculation of the inverse number of n order arrangement. They find it difficult. This paper summarizes the methods of solving inverse ordinal numbers from four perspectives （"left and right back small"， "left and right front big"， "right left front big" and "right left back small"）. Method naming is actually in accordance with the established order and size of the comparison to proceed， a good understanding and mastery. These methods are applied to calculate determinants. This is of great significance for students to understand the number of inversion and calculate determinants.

Key Words： Inverse number； Determinant； Application

線性代數(shù)是理工科專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課，對(duì)他們后續(xù)的專業(yè)課的學(xué)習(xí)有一定的價(jià)值。行列式則是線性代數(shù)這門課程的第一個(gè)重要工具，對(duì)于能否學(xué)好線性代數(shù)起著至關(guān)重要的作用。在行列式的定義中，排列的逆序數(shù)的作用比較明顯，行列中每一項(xiàng)的符號(hào)就是由其逆序數(shù)的奇偶性來決定的。由此可見，逆序數(shù)在求解行列式時(shí)起了比較重要的作用，如何準(zhǔn)確和快速地求出排列的逆序數(shù)就顯得尤為重要。對(duì)于逆序數(shù)地計(jì)算用應(yīng)用研究，佟偉[1]給出了兩種計(jì)算方法，趙靜[2]等給出了逆序數(shù)的應(yīng)用價(jià)值，劉潔玉[3]討論了逆序數(shù)的若干性質(zhì)用其應(yīng)用。本文旨在為了讓學(xué)生更好地理解逆序數(shù)和計(jì)算逆序數(shù)。

1 逆序數(shù)的定義

在一個(gè)排列中，如果一對(duì)數(shù)的前后位置與大小順序相反，即前面的數(shù)大于后面的數(shù)，那么它們就稱為一個(gè)逆序。一個(gè)排列中逆序的總數(shù)就稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)。一個(gè)排列中所有逆序總數(shù)叫作這個(gè)排列的逆序數(shù)。也就是說，對(duì)于n個(gè)不同的元素，先規(guī)定各元素之間有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)次序（例如n個(gè)不同的自然數(shù)，可規(guī)定從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序），于是在這n個(gè)元素的任一排列中，當(dāng)某兩個(gè)元素的先后次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同時(shí)，就說有1個(gè)逆序。一個(gè)排列中所有逆序總數(shù)叫作這個(gè)排列的逆序數(shù)。

2 逆序數(shù)的計(jì)算

計(jì)算一個(gè)排列的逆序數(shù)的直接方法是逐個(gè)枚舉逆序，同時(shí)統(tǒng)計(jì)個(gè)數(shù)。例如在序列{2，4，3，1}中，逆序依次為（2，1），（4，3），（4，1），（3，1），因此該序列的逆序數(shù)為4。但是計(jì)算一個(gè)排列的逆序數(shù)的方法不只這一種。一般的教材都提供了兩種求解的方法。經(jīng)過作者幾輪的線性代數(shù)的教學(xué)，發(fā)現(xiàn)排列的逆序數(shù)的求解有4個(gè)角度可以進(jìn)行。

第一個(gè)角度：從排列的第一個(gè)數(shù)開始往右邊數(shù)后面比其小的個(gè)數(shù)。簡稱“左右后小”方法。

第二個(gè)角度：從排列的第一個(gè)數(shù)開始往右邊數(shù)前面比其大的個(gè)數(shù)。簡稱“左右前大”方法。

第三個(gè)角度：從排列的最后一個(gè)數(shù)開始往左邊數(shù)前面比其大的個(gè)數(shù)。簡稱“右左前大”方法。

第四個(gè)角度：從排列的最后一個(gè)數(shù)開始往左邊數(shù)后面比其小的個(gè)數(shù)。簡稱“右左后小”方法。

比如求排列532164的逆序數(shù)。

“左右后小”方法：τ（532164）=4+2+1+0+1=8

“左右前大”方法：τ（532164）=1+2+3+0+2=8

“右左前大”方法：τ（532164）=2+0+3+2+1=8

“右左后小”方法：τ（532164）=1+0+1+2+4=8

再比如求排列135…（2n-1）（2n）（2n-2）...42的逆序數(shù)。

解：“左右后小”方法：

τ[135...（2n-1）（2n）（2n-2）...2]=0+1+2+3+...（n-1）+（n-1）+（n-2）+...1+0=n（n-1）

“左右前大”方法：

τ[135…（2n-1）（2n）（2n-2）...2]=0+0+0+0+0...0+2+4...+（2n-4）+（2n-2）=n（n-1）

“右左前大”方法：

τ[135...（2n-1）（2n）（2n-2）...2]=（2n-2）+（2n-4）+（2n-6）+...+2+0+0+0+...+0=n（n-1）

“右左后小”方法：

τ[135...（2n-1）（2n）（2n-2）...2]=0+1+2+3+...（n-1）+（n-1）+（n-2）+...+1+0=n（n-1）

3 逆序數(shù)的應(yīng)用

逆序數(shù)在計(jì)算n階行列式的過程中起著非常重要的作用，一般來說，用定義來計(jì)算n階行列式的題目都是比較特殊的題目，下面就給出較為簡單的實(shí)例。從4個(gè)角度給出其計(jì)算逆序數(shù)的過程。

求解行列式

解：依據(jù)n階行列式的定義可知Dn=（-1）τ[n（n-1）（n-2）...21]n

關(guān)鍵的問題就是求出排列的逆序數(shù)。下面從4個(gè)角度來求出其逆序數(shù)，從而計(jì)算出所得的行列式。

4 結(jié)語

逆序數(shù)在求解行列式時(shí)起了非常重要的作用。再求具體的排列的逆序數(shù)時(shí)，用一般教材所給的兩方法就可以解決，但對(duì)于用定義求解n階行列式或者更高階行列式的算時(shí)，有時(shí)換個(gè)角度可能更好理解和計(jì)算。本文總結(jié)了從4個(gè)角度求逆序數(shù)的方法（“左右后小”方法、“左右前大”方法、“右左前大”方法和“右左后小”方法）。方法的命名其實(shí)就是按照既定的順序和大小的比較來進(jìn)行，很好理解和掌握。這對(duì)于學(xué)生掌握逆序數(shù)的計(jì)算有著重要的意義。

參考文獻(xiàn)

[1] 佟偉.排列的逆序數(shù)的兩種計(jì)算方法[J].科技資訊，2011（16）：184.

[2] 趙靜，嚴(yán)尚安，余建民，逆序數(shù)的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2002（6）：963-967.

[3] 劉潔玉.逆序數(shù)的若干性質(zhì)及應(yīng)用[J].吉安師專學(xué)報(bào). 1999（6）：30-34.

[4] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)[M].5版.北京：高等教育出版社，2007.