常見均勻剛體轉(zhuǎn)動慣量的計算

楊小云

摘 要：轉(zhuǎn)動慣量是剛體力學(xué)中的一個重要物理量，在許多大學(xué)物理教材中，對一些常見均勻剛體的轉(zhuǎn)動慣量只給出了結(jié)論，沒有給出計算過程。本文根據(jù)轉(zhuǎn)動慣量的定義計算出一些常見的幾何形狀簡單、質(zhì)量連續(xù)且均勻分布的剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量，得出了剛體的轉(zhuǎn)動慣量與一些因素有關(guān)。期望這些內(nèi)容能對大學(xué)物理教學(xué)和學(xué)生的深入理解提供幫助。

關(guān)鍵詞：均勻剛體 轉(zhuǎn)動慣量 轉(zhuǎn)軸

中圖分類號：P159.3 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2018）10（b）-0184-02

轉(zhuǎn)動慣量是剛體力學(xué)中一個較為重要的物理量，它描述了剛體在轉(zhuǎn)動中慣性的大小。它和物體做平動時的質(zhì)量m地位相當(dāng)，其定義式可由剛體的轉(zhuǎn)動動能和動量矩推導(dǎo)出來[1]。幾何形狀簡單、質(zhì)量連續(xù)且均勻分布的剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量的定義為。常見的均勻剛體有圓柱、圓環(huán)、圓盤、細棒、球體等，教科書雖給出部分均勻剛體轉(zhuǎn)動慣量，但沒給出計算過程，本文將根據(jù)轉(zhuǎn)動慣量的定義計算出這些常見均勻剛體的轉(zhuǎn)動慣量。

1 空心圓柱體轉(zhuǎn)動慣量的計算

如圖1所示為質(zhì)量m的空心圓柱體，在半徑r（R1

因空心圓柱體是均勻的，ρ為恒量，因此

，又因為圓柱體的質(zhì)量

為，所以可得：。

當(dāng)R1=R2時，得薄壁圓筒（如圖2）對通過中心的幾何軸z軸的轉(zhuǎn)動慣量為I=mR2。

當(dāng)R1=0時，得實心圓柱體（如圖3）對通過中心的幾何

軸z軸的轉(zhuǎn)動慣量為。

根據(jù)實心圓柱體的轉(zhuǎn)動慣量的結(jié)論，將實心球在與z軸垂直的方向上切成半徑為r，厚度為dz的薄片，實心球密度為ρ，則該薄片質(zhì)量為，實心球的質(zhì)量為

。根據(jù)幾何關(guān)系，即可知可知實心

球?qū)νㄟ^球體直徑z軸的轉(zhuǎn)動慣量為[4]：

根據(jù)實心球的轉(zhuǎn)動慣量的結(jié)論，設(shè)空心球的內(nèi)徑為R1，外徑為R2。同密度的實心球，若以R1為半徑，則質(zhì)量為

M1；若以R2為半徑，則質(zhì)量為M2，由m2-m1=m

公式（3）中若R1=R2時，得球殼對通過球心的z軸的轉(zhuǎn)動慣量為：

2 環(huán)形圓盤轉(zhuǎn)動慣量的計算

如圖4所示質(zhì)量為m的環(huán)形，在半徑r（R1

由于環(huán)形圓盤是均勻的，σ為恒量，因此；

將環(huán)形圓盤的質(zhì)量代入（5）可得環(huán)形圓盤對z軸的轉(zhuǎn)動慣量為：

當(dāng)R1=0時，得圓盤對通過中心且與盤面垂直的z軸的轉(zhuǎn)

動慣量為。

當(dāng)R1=R2時，得圓環(huán)對通過中心且與圓環(huán)垂直的z軸的轉(zhuǎn)動慣量為I=mR2。

3 細棒和長方形轉(zhuǎn)動慣量的計算

如圖5所示質(zhì)量為m的細，在棒內(nèi)距z軸為x處，取長為dx，橫截面積為S的質(zhì)元，設(shè)棒的密度為ρ，則該質(zhì)元的質(zhì)量為，所以細棒A對z軸的轉(zhuǎn)動慣量為

。由于細棒是均勻的，ρ為恒量，

因此，若細棒A的質(zhì)量為m=ρlS，則細棒對z軸的轉(zhuǎn)動慣量為：

如圖6所示質(zhì)量為m的長方體，沿轉(zhuǎn)軸z方向取一長為dy，寬為dx，高為 的細長方體，因細長方體橫截面非常小，因此橫截面上任意一處可看成一個坐標為（x，y，z）的點。設(shè)長方體的密度為ρ，則該細長方體的質(zhì)量為。又因細長方體的轉(zhuǎn)動半徑為則細長方體的轉(zhuǎn)動慣量為，整個長方體的轉(zhuǎn)動慣量為

3 結(jié)語

轉(zhuǎn)動慣量是大學(xué)物理中關(guān)于剛體力學(xué)的一個重要的物理量，而關(guān)于常見均勻剛體的轉(zhuǎn)動慣量的計算也是大學(xué)物理學(xué)習(xí)中的一個重點之一。本文利用微元法計算了空心圓柱體和環(huán)形圓盤的轉(zhuǎn)動慣量，并通過討論推廣得到了薄壁圓筒、實心圓柱體、實心球、空心球、球殼、圓盤、圓環(huán)相對其中心軸的轉(zhuǎn)動慣量。

參考文獻

[1] 韓眾.幾種形狀規(guī)則剛體轉(zhuǎn)動慣量的計算[J].山西大同大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2014，30（4）：25-27.

[2] 漆安慎，杜嬋英.力學(xué)[M].北京：高等教育出版社，1997.

[3] 馬文蔚.物理學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2006.

[4] 張金鋒，劉建軍，公丕鋒.基于均質(zhì)球?qū)ΨQ剛體轉(zhuǎn)動慣量的計算[J].吉林師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2016（1）：84-85.