淺談受壓混凝土柱的線性屈曲分析

李 天, 黃 幸

(中國(guó)十九冶集團(tuán)有限公司勘察設(shè)計(jì)分公司, 四川成都 611700)

[定稿日期]2017-09-15

1 受壓柱線性屈曲理論簡(jiǎn)介

穿層柱在建筑設(shè)計(jì)中有著十分廣泛的應(yīng)用。在某些下部需要大空間的建筑中，存在跨越2～3層的柱，柱在層間無(wú)梁或樓板約束，對(duì)于這類柱就應(yīng)進(jìn)行屈曲分析以了解柱的失穩(wěn)狀況。在《超限高層建筑工程抗震設(shè)防專項(xiàng)審查技術(shù)要點(diǎn)(2015版)》附件表二中局部穿層柱、斜柱屬于第七條局部不規(guī)則的情況。進(jìn)行柱的線性屈曲分析有兩個(gè)目的：

(1) 分析柱的失穩(wěn)是否先于整體結(jié)構(gòu)，若柱先失穩(wěn)則說明柱不安全，需對(duì)柱進(jìn)行加強(qiáng)。此項(xiàng)分析可通過屈曲因子來判斷，柱屈曲對(duì)應(yīng)模態(tài)的屈曲因子應(yīng)大于整體結(jié)構(gòu)的值。

(2) 通過屈曲因子來計(jì)算柱實(shí)際的計(jì)算長(zhǎng)度，從而為該柱的設(shè)計(jì)提供有效的數(shù)據(jù)。

結(jié)構(gòu)屈曲是指在外力作用下結(jié)構(gòu)的平衡狀態(tài)開始破壞，稍有擾動(dòng)變形迅速增大，最后使結(jié)構(gòu)發(fā)生失穩(wěn)破壞。由于屈曲導(dǎo)致的破壞程度遠(yuǎn)大于其他破壞，所以必須予以重視。

結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算通常有：大撓度理論和小撓度理論兩種計(jì)算方法。在一般的建筑結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中通常采用小撓度理論，其優(yōu)點(diǎn)是可以用比較簡(jiǎn)單的方式得出基本正確的結(jié)論，以求出失穩(wěn)的臨界荷載。若希望得到更精確的結(jié)論，則需要采用較為復(fù)雜的大撓度理論。

結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)有分支點(diǎn)失穩(wěn)和極值點(diǎn)失穩(wěn)兩種基本形式。

1.1 分支點(diǎn)失穩(wěn)(第一類失穩(wěn))

圖1為簡(jiǎn)支壓桿的理想體系：桿件是理想的直線(沒有初始曲率)，荷載P是理想的中心受壓荷載(沒有偏心)，當(dāng)荷載P小于歐拉臨界值Pcr=π2EI/l2壓桿只是單純受壓，不發(fā)生彎曲變形(Δ=0)，壓桿處于直線形式的平衡狀態(tài)(稱為原始平衡狀態(tài))。

圖2中當(dāng)P>Pcr時(shí)，原始平衡形式不再是唯一的平衡形式，壓桿既可處于直線形式的平衡狀態(tài)OBC,也可處于彎曲的平衡狀態(tài)OBD(大撓度理論)或OBD’(小撓度理論),即此時(shí)存在兩種不同形式的平衡狀態(tài),并且這時(shí)原始平衡狀態(tài)(C點(diǎn))是不穩(wěn)定的。如果壓桿受到干擾而彎曲，則當(dāng)圖中干擾消失后，壓桿并不能回到C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的原始平衡狀態(tài)，該壓桿繼續(xù)彎曲直到圖中D點(diǎn)對(duì)應(yīng)的彎曲形式的平衡狀態(tài)為止。因此當(dāng)P>Pcr時(shí)，在原始平衡路徑OBC上點(diǎn)C所對(duì)應(yīng)的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。兩條平衡路徑OBC和OBD的交點(diǎn)B稱為分支點(diǎn)。當(dāng)P>Pcr時(shí)在B點(diǎn)出現(xiàn)平衡的二重性，原始平衡路徑OAB由穩(wěn)定平衡變?yōu)椴环€(wěn)定平衡，出現(xiàn)穩(wěn)定性的轉(zhuǎn)變，具有這種特性的失穩(wěn)稱為分支點(diǎn)失穩(wěn)。分支點(diǎn)對(duì)應(yīng)的荷載為臨界荷載。

圖1 直線平衡狀態(tài)

圖2 彎曲平衡狀態(tài)

在圖3中即OAB表示，稱為原始平衡路徑。如果壓桿受到輕微干擾而發(fā)生彎曲，偏離原始平衡狀態(tài)，則當(dāng)干擾消失后，壓桿仍又回到原始平衡狀態(tài)。因此當(dāng)P

圖3 荷載-位移曲線(P-Δ曲線)

1.2 極值點(diǎn)失穩(wěn)(第二類失穩(wěn))

圖4中為具有初曲率的壓桿和承受偏心荷載的壓桿，稱之為為壓桿的非完善體系。非完善體系從一開始加載就處于彎曲平衡狀態(tài)。小撓度的P-Δ曲線如圖5中OA所示，在初始階段撓度增加較慢，以后逐漸變快，當(dāng)P接近中心壓桿的歐拉臨界值Pcr時(shí)，撓度趨于無(wú)限大。如果按照大撓度理論其P-Δ曲線為曲線OBC。B點(diǎn)位極值點(diǎn)，荷載到達(dá)極大值。在極值點(diǎn)以前的曲線OB其平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的，極值點(diǎn)之后的曲線BC，當(dāng)撓度增大時(shí)，其相應(yīng)的荷載值反而下降，平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。在極值點(diǎn)處，平衡路徑由穩(wěn)定平衡轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定平衡，這種失穩(wěn)形式稱為極值點(diǎn)失穩(wěn)。極值點(diǎn)相應(yīng)的荷載為臨界荷載。

圖4 偏心受壓桿

圖5 荷載-位移曲線(P-Δ曲線)

實(shí)際工程中的穩(wěn)定性問題多屬于第二類，但是由于第一類穩(wěn)定的力學(xué)模型比較簡(jiǎn)單，在數(shù)學(xué)上是求解特征值的問題，而且它的臨界荷載可近似代表相應(yīng)的第二類穩(wěn)定問題的上限，所以第一類穩(wěn)定問題在理論分析中占有重要的地位。結(jié)構(gòu)的第一類穩(wěn)定，在數(shù)學(xué)上歸結(jié)為廣義特征值問題。屈曲特征方程為：[K-λG(r)]Ψ=0。其中：K為剛度矩陣；G(r)為荷載向量r作用下的幾何(P-Δ)剛度；λ為特征值對(duì)角矩陣；Ψ為對(duì)應(yīng)的特征向量矩陣特征值λ稱為屈曲因子。在給定荷載模式下，它必須乘以r中的荷載才能引起屈曲，即屈曲荷載為屈曲因子與給定荷載的乘積。比如在計(jì)算1.0恒+1.0活作用下的屈曲分析時(shí)會(huì)有一個(gè)屈曲因子，該屈曲因子×(1.0恒+1.0活)=屈曲臨界力，根據(jù)這個(gè)臨界力利用公式Pcr=π2EI/l2求得計(jì)算長(zhǎng)度之后，在模型里修改穿層柱的計(jì)算長(zhǎng)度，從而得出正確的結(jié)果。

2 工程實(shí)例

一普通框架結(jié)構(gòu)為5 m×5 m跨，柱距均為5 m，層高為3.5 m，右下角的角柱穿越2層即該柱的層高為10.5 m。柱子大小均為500 mm×500 mm，主梁為250 mm×400 mm,次梁為200 mm×400 mm，板厚為100 mm，樓面恒載為2.5 kN/m2，活載為3 kN/m2。為便于觀察右下角柱子的屈曲情況，將該柱截面改為300 mm×300 mm。

在YJK里面建立模型如圖6所示，在計(jì)算參數(shù)-計(jì)算控制信息-二階效應(yīng)中勾選屈曲分析，屈曲模態(tài)數(shù)的參數(shù)根據(jù)模型大小至少為6個(gè)，如果在計(jì)算結(jié)果中未找到要計(jì)算的柱子的屈曲模態(tài)則需要增加模態(tài)數(shù)量，直至找到該柱的屈曲模態(tài)；屈曲分析荷載組合的選取與最終計(jì)算結(jié)果無(wú)關(guān)，因?yàn)橥ㄟ^不同的荷載組合計(jì)算得出的屈曲因子也會(huì)不同，但最終計(jì)算出的臨界荷載是相同的。計(jì)算過程參數(shù)設(shè)置見圖7，計(jì)算結(jié)果見圖8、圖9。

圖6 計(jì)算模型

圖7 設(shè)置參數(shù)

圖8 YJK計(jì)算第一模態(tài)云圖

該模態(tài)為第一模態(tài)，可明顯觀察到右下角的柱屈曲。而在實(shí)際工程中不允許局部柱子的屈曲先于整體屈曲。屈曲

圖9 YJK計(jì)算屈曲因子

分析結(jié)果見圖9。臨界荷載為1.0恒+0.5活=155 kN， 155×44.241=6875 kN，根據(jù)Pcr=π2EI/l2，計(jì)算出實(shí)際的計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)為0.513。而《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》第6.2.20條規(guī)定了框架現(xiàn)澆樓蓋底層柱的計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)為1.0，說明規(guī)范的系數(shù)還是非常偏于安全的，而在某些情況下我們可以通過修改長(zhǎng)度系數(shù)取得較為經(jīng)濟(jì)的設(shè)計(jì)結(jié)果。

采用SAP2000驗(yàn)算該模型，計(jì)算結(jié)果同YJK計(jì)算結(jié)果基本一致，特別是前2階右下角柱的屈曲因子幾乎一致。SAP2000計(jì)算結(jié)果見表1。

表1 SAP2000計(jì)算屈曲因子

3 結(jié)束語(yǔ)

本文簡(jiǎn)單介紹了受壓混凝土柱的線性屈曲分析的理論及軟件操作，希望對(duì)初學(xué)設(shè)計(jì)者有一定的幫助。