基于三角級(jí)數(shù)法合成多維多點(diǎn)非平穩(wěn)地震動(dòng)

周劉茜, 鄭史雄, 陳 航

(西南交通大學(xué)橋梁工程系, 四川成都 610031)

[定稿日期]2017-08-14

地震動(dòng)輸入一直是處于地震工程學(xué)中的一個(gè)研究熱點(diǎn)，對(duì)于平面尺寸較大的大跨度橋梁結(jié)構(gòu)，若采用一致激勵(lì)對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行抗震計(jì)算，不能完全考慮結(jié)構(gòu)的空間相關(guān)性，因此采用多點(diǎn)輸入是必要的。且地震波數(shù)量的有限性、隨機(jī)性和不確定性等限制了多點(diǎn)直接動(dòng)力分析法應(yīng)用到實(shí)際工程中，因而模擬生成具有特性參數(shù)的多點(diǎn)地震動(dòng)是地震工程學(xué)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。

關(guān)于地震動(dòng)合成研究，Hao[1]等基于單點(diǎn)人工地震波合成，通過分解多點(diǎn)構(gòu)成的互功率譜矩陣，并假定相位角呈均勻分布，合成了多點(diǎn)人工地震動(dòng)時(shí)程；Ramadan[2]提出了兩種地震波合成方法，考慮了地震動(dòng)的非平穩(wěn)性，對(duì)比了兩種方法的適用條件和計(jì)算效率，應(yīng)用到了單跨和多跨簡支梁分析中；江近仁[3]、汪夢(mèng)甫[4]、徐強(qiáng)[5]、牛志國[6]、邢超宇[7]和黃朝光[8]等研究了人工地震波合成技術(shù)，為多點(diǎn)激勵(lì)地震波的合成奠定了基礎(chǔ)，為準(zhǔn)確的結(jié)構(gòu)抗震分析提供了必要條件。

本文基于隨機(jī)振動(dòng)理論，將一維多點(diǎn)激勵(lì)地震波的合成理論擴(kuò)展成為多維多點(diǎn)地震波合成，考慮了地震動(dòng)的空間效應(yīng)和非平穩(wěn)性，通過迭代計(jì)算修正幅值提高計(jì)算精度，所合成多維多點(diǎn)地震波更能表征實(shí)際地震動(dòng)的特性，便于工程應(yīng)用。

1 地震動(dòng)合成與修正公式

1.1 合成公式

基于隨機(jī)振動(dòng)理論，將合成單點(diǎn)地震動(dòng)擴(kuò)充到合成多點(diǎn)地震動(dòng)，并考慮空間變異性、空間效應(yīng)和場地條件。其合成方法采用三角級(jí)數(shù)法。

(1)將反應(yīng)譜轉(zhuǎn)換為當(dāng)量功率譜。

(1)

式中：S(ω)為功率譜；Sa(ω)為目標(biāo)反應(yīng)譜；T為持續(xù)時(shí)間；ω為固有頻率；ξ為阻尼比；r為反應(yīng)不超過反應(yīng)譜值得概率。

(2)用三角級(jí)數(shù)迭加法生成零均值的平穩(wěn)高斯過程。

(2)

(3)將平穩(wěn)時(shí)程乘以非平穩(wěn)強(qiáng)度包線得到非平穩(wěn)加速度時(shí)程。

a(t)=f(t)·X(t)

(3)

強(qiáng)度包線函數(shù)可取為以下形式：

(4)

式中：t1為地震動(dòng)時(shí)程上升段時(shí)間；t2為下降段起始時(shí)間；c為衰減系數(shù)。

1.2 修正公式

初次計(jì)算得到的地震動(dòng)時(shí)程轉(zhuǎn)換的反應(yīng)譜，一般近似于目標(biāo)反應(yīng)譜。為了提高精度，此時(shí)對(duì)合成地震時(shí)程采用頻域方法進(jìn)行迭代修正[9]。

(1)人工地震動(dòng)時(shí)程生成反應(yīng)譜R(ω,ζ)，計(jì)算公式為[10]：

(5)

式中：h()為單位脈沖響應(yīng)函數(shù)。

(2)人工地震動(dòng)時(shí)程幅值修正，每一個(gè)頻率點(diǎn)處人工地震波值，以人工反應(yīng)譜和目標(biāo)反應(yīng)譜的比值作為驗(yàn)證精度值，當(dāng)精度值不滿足擬合精度值時(shí)，進(jìn)行幅值調(diào)整，調(diào)整后再次生成人工地震動(dòng)，并將新人工地震動(dòng)生成相應(yīng)反應(yīng)譜，再與目標(biāo)反應(yīng)譜比較，進(jìn)行精度值檢驗(yàn)和調(diào)整。如此反復(fù)，直至達(dá)到精度要求，即擬合精度迭代計(jì)算[10]。

(6)

按式(7)對(duì)幅值進(jìn)行調(diào)整：

(7)

2 合成多維多點(diǎn)非平穩(wěn)地震動(dòng)

本文以某斜拉橋?yàn)槔?，按以上方法采用擬合反應(yīng)譜法合成多維多點(diǎn)非平穩(wěn)地震動(dòng)。將反應(yīng)譜轉(zhuǎn)換為當(dāng)量功率譜，并作為支撐處地震激勵(lì)的自功率譜，然后利用三角級(jí)數(shù)法初次計(jì)算得到多維多點(diǎn)非平穩(wěn)地震動(dòng)。

第一次生成多點(diǎn)非平穩(wěn)地震動(dòng)時(shí)程的擬合反應(yīng)譜與目標(biāo)反應(yīng)譜有一定的差別，為了使擬合誤差到達(dá)精度要求，通過式(6)、式(7)對(duì)幅值譜進(jìn)行調(diào)整生成修正后的幅值譜，并結(jié)合相位譜生成地震動(dòng)時(shí)程，迭代計(jì)算后的最終擬合反應(yīng)譜如圖1所示。

圖1 初始和修正的非平穩(wěn)擬合反應(yīng)譜

其擬合設(shè)計(jì)反應(yīng)譜修正的空間多點(diǎn)非平穩(wěn)地震動(dòng)如圖2所示。

圖2 迭代擬合的非平穩(wěn)地震動(dòng)

3 合成地震動(dòng)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文人工合成地震動(dòng)的準(zhǔn)確性，用本文合成的地震動(dòng)和實(shí)際地震動(dòng)對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)進(jìn)行對(duì)比分析。實(shí)際地震動(dòng)記錄的選取利用PEER網(wǎng)站來選取合適的地震波。該網(wǎng)站的首頁為：http://peer.berkeley.edu/peer_ground_motion_database。

3.1 計(jì)算模型簡介

以某西部山區(qū)高墩剛構(gòu)橋梁為背景，橋梁布置為89 m+168 m+89 m，兩個(gè)墩高分別76 m和103 m。在墩底施加上述基于三角級(jí)數(shù)擬合合成的地震動(dòng)時(shí)程，并與在墩底施加實(shí)際的RSN81_SFERN_PPP000地震動(dòng)時(shí)程進(jìn)行響應(yīng)對(duì)比。剛構(gòu)橋梁示意圖如圖3所示，三維有限元數(shù)值模型如圖4所示。

圖3 連續(xù)剛構(gòu)橋示意

圖4 有限元數(shù)值模型

該剛構(gòu)橋梁采用一致激勵(lì)時(shí)程分析法計(jì)算，即1號(hào)墩和2號(hào)墩加載的地震動(dòng)相同，計(jì)算基于三角級(jí)數(shù)和實(shí)際地震動(dòng)時(shí)程的橋梁響應(yīng)。為了更明確驗(yàn)證結(jié)構(gòu)響應(yīng)結(jié)果，只對(duì)縱橋方向添加地震動(dòng)時(shí)程。

3.2 響應(yīng)結(jié)果對(duì)比分析

以ANSYS為計(jì)算平臺(tái)，對(duì)本文合成的地震動(dòng)和實(shí)際地震動(dòng)加載的剛構(gòu)橋梁進(jìn)行響應(yīng)分析。取時(shí)程響應(yīng)的最大值為研究對(duì)象，響應(yīng)結(jié)果如圖5～圖7所示。

(a) 主梁縱向位移

(b) 1號(hào)橋墩縱向位移

(c) 2號(hào)橋墩縱向位移圖5 縱向最大位移響應(yīng)

從圖5～圖7可以得到如下驗(yàn)證結(jié)論：(1)主梁和橋墩的位移、剪力和彎矩響應(yīng)在兩種地震動(dòng)下響應(yīng)規(guī)律一致；(2)主梁及墩的位移響應(yīng)在兩種地震動(dòng)下差距較為明顯，基于三角級(jí)數(shù)合成地震動(dòng)下比實(shí)際地震動(dòng)下大5 mm，而剪力響應(yīng)和彎矩響應(yīng)相差不大，在墩底處基于三角級(jí)數(shù)合成的地震動(dòng)要大一些。

(a) 1號(hào)橋墩縱向剪力

(b) 2號(hào)橋墩縱向剪力圖6 縱向最大剪力響應(yīng)

(a) 1號(hào)橋墩縱向彎矩

(b) 2號(hào)橋墩縱向彎矩圖7 縱向最大彎矩響應(yīng)

通過以上的時(shí)程響應(yīng)計(jì)算分析，以基于三角級(jí)數(shù)人工地震動(dòng)和地震動(dòng)RSN81_SFERN_PPP000地震動(dòng)的反應(yīng)譜大致相似為前提，其縱向的位移、剪力和彎矩響應(yīng)分布規(guī)律基本一致，且數(shù)值上相差不大。因此說明了本文合成的人工地震動(dòng)時(shí)程具有實(shí)際地震動(dòng)的相應(yīng)特性，能如實(shí)際地震動(dòng)一樣用于結(jié)構(gòu)計(jì)算且響應(yīng)值準(zhǔn)確可靠。

4 結(jié)論

本文基于三角級(jí)數(shù)法這一地震動(dòng)合成方法合成一非平穩(wěn) 地震動(dòng)，再利用設(shè)計(jì)反應(yīng)譜擬合法對(duì)其幅值譜進(jìn)行調(diào)整生成修正后的譜，并結(jié)合相位譜生成地震動(dòng)時(shí)程。對(duì)比分析了合成的人工地震動(dòng)和基于PEER地震動(dòng)數(shù)據(jù)庫選取的地震動(dòng)作用下高墩鋼構(gòu)橋梁結(jié)構(gòu)的響應(yīng)，得出以下結(jié)論：

(1) 理論上講，多維多點(diǎn)非平穩(wěn)地震波合成比一維多點(diǎn)激勵(lì)地震波的合成更符合實(shí)際地震動(dòng)特性，為大跨度結(jié)構(gòu)抗震分析提供更實(shí)際的地震動(dòng)輸入；

(2) 合成的多維多點(diǎn)非平穩(wěn)人工地震動(dòng)時(shí)程通過擬合反應(yīng)譜的方法進(jìn)行幅值修正，得到了滿足精度的非平穩(wěn)地震動(dòng)時(shí)程，為結(jié)構(gòu)地震動(dòng)時(shí)程的響應(yīng)分析提供了正確的地震動(dòng)輸入保障；

(3) 合成多維多點(diǎn)地震波克服了實(shí)測地震波有限的缺點(diǎn)，為橋梁抗震規(guī)范多維多點(diǎn)抗震分析提供了多維地震波合成的理論依據(jù)；

(4) 基于PEER地震動(dòng)數(shù)據(jù)庫選取的地震波和人工合成地震動(dòng)作用下高墩剛構(gòu)橋梁結(jié)構(gòu)的響應(yīng)，說明了本文所合成的人工地震動(dòng)時(shí)程具有實(shí)際地震動(dòng)的相應(yīng)特性，能如實(shí)際地震動(dòng)一樣用于結(jié)構(gòu)計(jì)算且響應(yīng)值準(zhǔn)確可靠。

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