經歷建模過程 積累建模經驗
——以“乘法分配律”的教學為例

江蘇南京市雨花臺區共青團路小學（210000） 劉正娟

【錯誤列舉】

關于蘇教版教材四年級下冊的“乘法分配律”，學生在學習的過程中常常出現以下兩種錯誤。

算理理解不到位。如圖1，歸根結底，不理解算理，也就是不理解乘法的意義。

圖1

圖2

湊整思想的僵化。如圖2，學生只是注意到99接近100，沒有考慮到這個算式的特點，沒有準確分析“這個數”在算式中與其他數之間的運算關系，機械湊整，勢必會導致計算結果錯誤。

學生出現上述這些錯誤的根本原因在于不理解算式的意義，只是機械模仿，不能按照算理正確地思考簡算過程。在多次思考之后，我找到了一種行之有效的方法，那就是從建模的角度出發，聚焦最樸素的算理——乘法的意義，分析學生的錯誤原因，抓住問題的本質，根治錯誤。

【教學重構】

片段一：數形結合，建立兩式相等關系

1.出示圖3，引導學生思考：怎么求這兩個圖形的面積之和呢？你能想出幾種方法？在學生得出兩種基本方法后，我寫出等式：（6+3）×4=6×4+3×4。

圖3

2.讓學生從圖4中的三個長方形中選出兩個，拼成一個大長方形。

圖4

學生通過獨立思考、小組活動后得出如圖5所示的兩個大長方形，并列出算式求出拼好之后的大長方形的面積。

圖5

3.引導學生思考：為什么②號長方形和③號長方形不能拼成一個大長方形呢？

4.出示題目“四年級有6個班，五年級有4個班，每個班領24根跳繩。一共領多少根跳繩？”在得出等式（6+4）×24=6×24+4×24后，引導學生歸納總結：這種實際問題也可以用圖6來表示，左邊的長方形表示四年級一共領了多少根跳繩，右邊的長方形表示五年級一共領了多少根跳繩，也可以合在一起看：四、五年級一共有10個班，就是10個24的和。

乘法分配律對學生來說是比較抽象的，將長方形的面積計算與乘法分配律的知識融合在一起，借助幾何直觀、數形結合，以計算長方形面積為載體建構等式，能使學生在探究的過程中對乘法分配律中的兩道算式構成的等式有深入的了解，從而明確探究的方向。學生在交流討論“為什么②號長方形和③號長方形不能拼成一個大長方形”的過程中，也能體會到“乘法分配律中必須有相同因數”這一重要的數學本質。

片段二：舉例驗證，明晰兩式相等的本質屬性

在上述教學的基礎上，我組織學生進一步研究：①觀察這幾組等號兩邊的算式，你有什么發現？②是不是具有這樣特征的算式都能用“=”連接？是偶然還是必然？③請在練習本上寫幾組具有這樣特征的式子；④想一想，像這樣的等式寫得完嗎？

在學生寫出大量等式的基礎上，我引導學生進行觀察和猜想，并且從正反兩個方面對得出的猜想進行驗證，抽象出結論后，再讓學生用數學語言表述其規律。在整個教學過程中，學生經歷了乘法分配律的探究過程，抽象、概括的能力得到了發展。學生通過舉例驗算的方法去感知規律，在真實體驗中感受規律，用語言表述規律便水到渠成。

圖6

片段三：抽象概括，建立基本模型

師：在前面的研究中，我們已經明晰了兩式相等的特征，你能否用自己喜歡的方式表示這個規律呢？

生1：（甲+乙）×丙=甲×丙+乙×丙。

生2：（△+□）×○=△×○+□×○。

生3：（a+b）×c=a×c+b×c。

師：其實，你們的表示方法有異曲同工之妙，都可以用圖形（圖7）表示出來。

圖7

師：既可以用（a+b）×c表示，也可以用 a×c+b×c表示，就得到（a+b）×c=a×c+b×c，這是乘法分配律的直觀模型。

師：如果這樣的圖形由3個、4個或多個長方形組成，那么關系式該怎么改？圖形又該怎么畫呢？大家試一試吧！

讓學生用自己喜歡的方式表示乘法分配律，其目的有三：一是檢驗學生是否已經正確理解規律；二是讓學生再次感受和明晰乘法分配律的結構；三是充分調動學生學習的主動性。乘法分配律是一個數學模型，任何數學模型都是抽象概括的產物，任何一種數學模型也都體現著數學的抽象美和簡潔美。但是，數學模型抽象建構完成后，絕不是終點，教師還要引導學生從不同角度對數學模型結構進行精準把握。

【案例反思】

數學模型是溝通數學與生活的橋梁，建立模型的過程就是架設這座橋梁的過程。乘法分配律雖然比較抽象，但在現實生活中有著廣泛的應用。本課的教學是通過現實生活情境呈現數學信息，提出數學問題，讓學生在探索活動中抽象出乘法分配律的字母表達式，建構乘法分配律的數學模型，并運用這一數學模型解決現實問題。

創設現實情境，感知模型。課程標準指出：建立模型首先要從現實的生活或者具體情境中抽象出數學問題。這說明發現問題和提出問題是數學建模的起點。乘法分配律是一個很抽象的內容，如果沒有具體的情境，學生就無法獲得體驗的機會。本課從現實中的求長方形面積、如何拼長方形、領跳繩的情境入手，引導學生感受兩種算法之間的聯系，從現實問題中抽象出等式，在初步感知數學模型的同時，也為后續的模型建立積累了豐富的素材。

經歷推理過程，初現模型。本課中首先是在得出兩組等式后引導學生觀察等號兩邊的算式，并提問：“你發現了什么？是不是所有這種算式都能組成等式？你能想辦法驗證嗎？”演繹推理的過程是從不完全歸納到完全歸納發展的過程，讓學生想辦法進行驗證就是引導學生從意義上來證明猜想的正確性，學生能從問題的實際意義“四、五年級一共領多少根跳繩？”出發，得到“一共有10個班，既是領10個24根”的結論；學生也會利用乘法的意義，從（6+4）個 24就是“6個 24”加“4個 24”的層面來理解。在這樣的推理過程中，學生積累了乘法分配律的感性經驗，初步建立了乘法分配律的模型。

運用多元表征，建立模型。模型的建立過程包括用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律。因此，引導學生用個性化的表達方式將乘法分配律表示出來，模型才能建立起來。比如，引導學生用自己的方法表示規律，學生就能用文字、圖形、字母等方式分別表示三個數，也有學生會用語言表示。這就是學生經歷乘法分配律模型建立的過程，在這個過程中，他們體會到了字母表達式的簡潔性，也增強了用符號表達規律的意識。