滲透思想方法 提高數學素養
——以“雞兔同籠”問題的教學為例

安徽太和縣第三小學（236600） 王國才

《義務教育數學課程標準》（實驗稿）在總體目標中指出：“通過義務教育階段的數學學習，使學生能夠獲得適應未來社會生活和進一步發展所必需的數學知識以及基本的數學思想方法和必要的技能。”《義務教育數學課程標準（2011年版）》將數學思想方法作為“四基”之一，充分說明了在數學教學中滲透數學思想方法的重要性。因此，教師只有領悟教材中蘊含的數學思想，才能從整體上、本質上理解教材，才能科學、靈活地設計教學方案，提高學生的數學素養。如果說數學知識是寫在教材上的一條明線，那么數學思想方法就是隱含其中的一條暗線。明線容易理解，暗線不易看清。正是由于數學思想方法具有內隱的特性，導致許多教師在平時的教學中常忽視它的存在。

一、忽視滲透數學思想方法的原因

1.認識模糊

東北師范大學資深教授史寧中說：“數學教學的最終目標，是要讓學習者會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界。”數學的眼光對應抽象，數學的思維對應推理，數學的語言對應模型，它們是數學思想方法的三個要素。可見，數學思想方法在整個小學數學學習階段是非常重要的。但是通過調查發現，部分教師從未在課堂教學中滲透過數學思想方法，尤其是年齡較大的教師，他們對數學思想方法的認識不深，只注重知識與技能的傳授，忽視數學思想方法的滲透，這是一種強制性的“給予”。

2.能力欠佳

美國頗有影響力的教師雷夫說：“我不是教課的，我是教人的。”也就是說，要從課程的深處、從教材的背后、從教學的背后，看到學生的存在，關注學生的素養。有些教師獨立鉆研教材的能力不強，挖掘教材中隱含的數學思想方法的能力欠佳，因而忽略了其中蘊含的數學思想方法。長此以往，將導致學生所學的數學知識呈現孤立的、零散的狀態，不利于學生構建知識體系，同時也不利于學生內化數學思想方法，阻礙了學生數學素養的提升。

3.引領不夠

部分教師參加學習培訓的機會不是很多，最關鍵的是教師學習的自覺性不高。此外，有的學校教研活動的開展流于形式，沒有針對性和實效性，缺少專家或名師的指點，導致數學教師對新理念、新方法的認識不足。

二、探尋數學思想方法的滲透策略

多年的教學實踐使我深刻地認識到，數學教學不應該僅僅是數學知識的教學，還應該是滲透數學思想、培養思維能力的教學。教師的作用在于幫助學生通過一系列的活動去“做數學”，實現數學的“再創造”。作為小學數學教師，不僅要教給學生數學知識，還要向學生滲透知識中蘊含的思想方法。如果將數學思想方法置于與知識技能同等的地位，那么培養學生的核心素養才不會是一句空話。為此，我對“雞兔同籠”一課進行了細致的分析，旨在挖掘教材中隱含的數學思想方法。

1.課前思考

“雞兔同籠”問題，單從知識的角度、從實際的生活中去探究并沒有重要的意義，有誰會把雞和兔子放在一個籠子里養呢？生活中很少有這樣的事例，那為什么還要研究它呢？這就要求教師形成清晰的認知：本節課主要是以“雞兔同籠”問題為載體，讓學生初步體會運用假設的數學思想方法解決問題的過程，同時為七年級學習利用一元一次方程中的代入消元法、加減消元法將兩個未知數轉化成一個未知數做鋪墊。

2.教學環節

（1）故事導入，滲透轉化思想

師：同學們，你們知道《曹沖稱象》的故事嗎？誰愿意講給大家聽呢？

（學生講故事）

師：在這個故事中，曹沖不但聰明，而且非常勇敢。他在遇到難題時善于開動腦筋，想到把稱大象的重量轉化成稱石頭的重量，并在那么多人的面前勇敢地提出自己與眾不同的想法，這種精神值得大家學習。轉化在數學中的應用有很多，今天老師就帶領大家學習運用轉化的方法來解決問題。

以歷史故事引入，既激發了學生的學習欲望和學習積極性，又為轉化思想方法的教學做了鋪墊。

（2）化難為易，滲透簡化思想

師（出示教材《孫子算經》中的趣題：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”）：你能說一說這道題是什么意思嗎？

（學生嘗試解釋題目的意思）

師：這道題的意思是，有若干只雞和兔放在同一個籠子里，從上面數，有35個頭；從下面數，有94只腳，請問籠中各有雞和兔幾只？

師：為了方便同學們研究問題，我們先來研究一個數據較小的“雞兔同籠”問題。籠子里有若干只雞和兔，從上面數，有9個頭，從下面數，有26只腳，求雞和兔各有幾只。

簡化問題，先研究小的方面，然后以小見大，能使學生的思考方向更明確、思路更清晰。這種設計既給數學課堂帶來了濃厚的文化氣息，又滲透了簡化的思想方法，易于學生從簡單入手、化難為易、發現規律，從而獲得解決問題的方法。

（3）畫圖或逐一列表，滲透數形結合思想

師：我們畫圓當作動物的頭，畫線段當作動物的腿。先畫出9個圓。假設這9只動物全是雞，并給每只雞畫上2條腿（如下圖所示）。

師：畫完后數一數，發現只有18條腿，和題目中說的26條腿相差8條，這是因為我們把兔子都看作了雞。這時把剩下的8條腿2條2條地添到剛剛畫出的“雞”上（如下圖），一共可以添4只，說明籠子中有一共有4只兔子。

師：所以雞有5只，兔有4只。

師：這個問題還可以用逐一列表法來解答。先假設有1只雞、8只兔，那么腿一共有34條，比26條多，不符合條件，接著假設有2只雞、7只兔，腿一共有32條，也不符合條件，那么繼續假設，直到找到符合條件的答案為止。

（發放表格；學生填表，教師巡視，對學習有困難的學生給予幫助）

生：

著名數學家華羅庚指出:“數無形時少直觀，形無數時難入微。”在這一教學環節中我借助數形結合思想中的圖形直觀手段，巧妙地運用畫圖法、列表法，為學生提供非常直觀的數學素材，把抽象的雞兔同籠問題轉化成學生易于理解的問題，既拓寬了學生的思路、留給學生思考的空間，又讓學生在解決問題的過程中發現列表的作用，為建構新知奠定基礎。這樣不僅使學生能非常清楚地明白“雞兔各有幾只”的復雜問題，而且讓學生通過觀察圖形和表格，獲得解題的思路和方法，從而掌握其中的數學思想。

（4）列表法，滲透優化的數學思想方法

師：剛才我們用逐一列表的方法解決了“雞兔同籠”問題，但是逐一列舉只適用解決數量較小的“雞兔同籠”問題，如果雞和兔的數量很大，用這種方法解決就會非常慢且麻煩，對此我們不妨探究“跳躍列表”和“折中列表”兩種方法。

師：根據第一次假設的數據與實際數據的差距，可“跳躍”著選擇數據。這種方法在一定程度上能加快尋找答案的速度。

師：先假設中間的數據，再根據結果判斷是向前還是向后尋找。

運用多種方法解決“雞兔同籠”問題，目的是讓學生了解算法的多樣性，啟迪學生的發散思維和創造性思維，讓學生在探究解法的過程中，經歷“猜測—驗證—調整—再驗證—再調整”的過程，在不斷調整數據中發現快速尋找答案的方法。這些過程均滲透了“優化”的數學思想方法。

教學實踐證明，所學到的知識在進入社會后經過一段時間也許就會被學生遺忘，然而那些銘刻于頭腦中的思想方法卻長期地在他們的生活和工作中發揮著作用。由此可見思想方法是知識的靈魂和精髓，掌握數學思想方法對提升學生的思維品質，乃至對學生的終身發展都具有十分重要的意義。因此，在教學設計中，教師要追本溯源，讓學生親身經歷知識的探索過程，并運用觀察與實驗、抽象與概括、類比、歸納、轉化等方法，逐步滲透數形結合、分類討論、化歸與轉化、優化與簡化等數學思想，讓學生學到具有生命力和生長性的知識。古語有云：“授之以魚不如授之以漁。”一個掌握了研究方法的人，比一個純粹的“知識的集大成者”更會學習、更享受學習，也更能適應未來學習型社會的發展需要。在教學過程中不斷向學生滲透數學思想方法，拓寬學生的思維通道，才能促進學生數學素養的不斷提升。