討價還價博弈及其子博弈精煉納什均衡

(武漢大學經濟與管理學院 湖北 武漢 430072)

一、引言

在現實生活中，資源往往是稀缺的，因此經濟個體的利益常常會產生沖突。就像一群人分一塊蛋糕，一個參與者得到更多的蛋糕就必然意味著其他參與者的收益減少。而博弈論的一個經典假設就是所有的參與者都是理性的，這就意味著他們在進行博弈時都會追求個人利益最大化。因此，為了可能得到的更多的利益，他們往往不會就這種博弈的最優結果達成共識。

在這種情況下，博弈參與者企圖采取對所有參與者而言都有利的決策來緩解這種沖突。如果存在多個決策最終能使每個參與者獲得比一無所獲更好的收益，并且不同的參與者對各種決策都有不同的偏好時，他們往往會達成某種協議(通常情況下如果參與者們沒能達成協議，那么他們不會獲得任何收益)。博弈論作為一種有助于分析決策主體相互作用的工具，可以用來分析協議形成的過程。

根據博弈進行的次數不同，模型主要分為兩種情況，分別為有限期和無限期模型。有限期的情況可以通過逆向歸納來得出博弈的最優結果。無限期的情況則比較復雜。博弈終點的缺失使得我們不能用研究有限期的方法來得出博弈的均衡，因此我們必須考慮“一次偏離性質”。

二、模型的基本前提

兩個參與者就1美元進行分配。設xi是參與者i(i=1,2)所得到的美元(0≤xi≤1).兩個參與者可能得到的結果可以由如下集合表示

X={(x1,x2)|x1,x2≥0,x1+x2=1}

如果沒能達成協議，在第3期，參與者1是出價者。在第4期，參與者2.以此類推。

博弈持續到其中一方接受對方的提議或者期末(第T期)。

如果這場博弈在第t期結束(1

如果直到第T期，雙方還沒有達成共識，那么博弈過程結束。最終他們的收入為(s1,s2)，其中s1+s2≤1。可以假設s1=s2=0。在現實生活中，談判的不歡而散往往不會給雙方帶來任何利益，因此這是一個合理的假設。

三、有限期限的情況

(一)簡單模型——三期的模型。下面來考慮T為有限值的情況。考慮T=3的情況，如圖3.1.1所示。

現在給出納什均衡的定義。

定義3.1.1：在一個多期拓展博弈中，如果一個策略s*使得對于每個參與者i的所有策略si，都有

那么稱這個策略為納什均衡(Nash equilibrium)。

因此納什均衡可以理解為，在均衡中，不改變其他人的策略，某個參與者的策略時最優的。由于討價還價博弈可以看成是一個完全信息的拓展博弈，所以它的子博弈可以看成是從某個博弈節點開始重新進行的博弈。子博弈均衡也由此定義。

采用逆向歸納法。

圖3.1.1

參與者1在第1期出價

出價被接受。

(二)推廣的模型——任意有限期的情況

現在考慮T=2n+1的情況。當T=5時，情況如圖3.2.1所示。

且被接受。當T=2n+1時，在子博弈精煉納什均衡中，參與者1的收入是

用數學歸納法證明這個結論。

即當T=2n+3時原式也成立。

下面考慮T為偶數，即T=2n+2的情況。此情況相當于將第2期作為博弈起點而兩個參與者角色互換的博弈。運用上面的結論可得，當博弈過程進行到第2期的時候，參與者2所得到的美元為

因此消費者1的均衡出價為

四、無限期限的情況

(一)模型的基本前提

下面考慮T=∞的情況。如圖4.1.1所示。

首先假設d=(0,0)，由于貼現因子δi會使得下一期的收益總比當期小，當T→∞時可以認為兩個參與者的收益都趨近于0，這個假設變得十分合理。納什均衡的定義沒有排除不可信威脅的可能性。所以，納什均衡的個數非常多。幾乎所有的方案都是均衡。

(二)Rubinstein定理

圖4.1.1

取T→∞得

現在我們將兩個參與者的角色互換，即參與者2在第1期出價，同理可得他的出價為

上面的極限即是無限期的均衡結果。證明如下(Rubinstein 1982)。

首先證明子博弈精煉性。只需考慮參與者在某一期偏離這個策略但在其后遵守均衡情況的策略的情況。從收益最大化的角度考慮，在出價中，參與者盡可能的增加自己的收益，因此在偏離的策略中，出價人的份額只可能比均衡策略中的大，所以其他的情況都可以歸納為這種情況。

在偶數期的情況與此類似。

下面證明此均衡的唯一性。

將這兩個不等式聯立，得

因此，均衡結果中參與者僅可能有唯一一種收益。均衡的唯一性得證。

綜上所述，Rubinstein定理得證。

五、有成本的討價還價博弈

(一)模型的改動

在Rubinstein的模型中，參與者的收益會隨時間減小，這與參與者對美元收入的時間偏好有關。當期1美元給參與者帶來的效用必然會比未來的1美元大。在在現實生活中，協商或者談判之類的活動都會涉及到成本。除了時間偏好以外，該成本還涉及到場地、設備等因素。

將模型的其他條件不變，但每次出價的過程都會產生成本，參與者的收益函數中不再有貼現率(也可以理解為，貼現率作為一個因素包含在成本系數中)，并且對于不同的參與者來說這個成本也是不同的。設參與者i的成本為ci。也就是說，收益函數變為xi-cit。

(二)模型的均衡結果

一個重要的結論如下所述：在有成本的兩人討價還價博弈中，如果c1

在奇數期，參與者1出價(1,0)，參與者2接受任何滿足x2≥0的出價；

在偶數期，參與者2出價(1-c1,c1)，參與者1接受任何滿足y1≥1-c1的出價。

證明：子博弈精煉性：與Rubinstein定理證明類似。同樣只需考慮，參與者在某一期偏離這個策略但在其后遵守均衡情況的策略的情況。

設參與者1的出價為(x1,x2)。

如果x1<1，參與者1的收益會減少。

參與者2如果不接受均衡出價，下一期會得到c1。而在均衡策略中，當期收益為0。因此在當期接受x2≥c1-c2是最優選擇。而c1

對應的，設參與者2的出價為(y1,y2)。

如果y2

如果y2>c1，參與者1會拒絕他的出價，而在下一期遵守均衡策略。因此在下一期，參與者1的收益為1，相當于在當期獲得1-c1的收益。這與接受出價時的收益相等。而根據假設，他應該接受出價。所以這個策略組合是子博弈精煉的。

現在證明唯一性。

綜上所述，均衡結果中兩人收益唯一。均衡也是唯一的。

綜上所述，結論得證。

六、總結

本文的主要分析方法均來自于博弈論.在本文的模型中，參與者們的利益會產生沖突。博弈論作為一種研究參與者策略的工具，在這種情況下顯得十分有效。誠然，與經濟學有關的內容由于一些看起來不切實際(有時也可稱為過多)的假設而顯得與現實生活相去甚遠。但在處理實際問題時，以這種理性的思維方式思考對策也往往會使我們處于有利地位。

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