“三角形的三邊關系”教學實錄與評析

教學實錄：

一、出示結論，理解結論

師：在《幾何原本》中有一句這樣的話（課件出示圖1）。來，齊讀一遍。（板書：三角形任意兩邊之和大于第三邊）能理解這句話的意思嗎？誰愿意說一說？

生1：就是兩邊的長度和要比第三邊長。

師：（在黑板上畫出三角形）你能上來比劃出你的意思嗎？（生1比劃）這就是任意兩邊之和大于第三邊的意思嗎？（底下有學生舉手）你為什么舉手？

生2：不止有這兩邊之和大于這一邊，還有這兩邊之和大于這一邊、這兩邊之和大于這一邊。

師：你們都能聽明白他說的意思嗎？（有學生搖頭）如果我給這三條邊都取上名字，（給三角形的三條邊分別標上a、b、c）你能再說一次嗎？

生2：有a+b>c，還有a+c>b和b+c>a。（板書： a+b>c，a+c>b，b+c>a）

師：你們都同意嗎？（生：同意）你現在明白這句話的意思了嗎？（生1點頭）你們都能明白？（其他學生點頭）

二、驗證結論

1.引出質疑，引發驗證

師：這句話的意思你們是明白了，那對于這句話，你相信嗎？（連續問一排學生）

學生有的說相信，有的說不相信。

師：有人相信，有人不相信，怎么辦？面對一個結論，我們不能輕易相信，也不能輕易不信，怎么辦？

生：驗證。

2.學生驗證，引發質疑

師：那你們要怎樣驗證？（生：畫一個三角形）黑板上正好有一個三角形，用它試試可以嗎？接下來干嗎？

生：測量三條邊的長度。（師測量并板書）

師：然后呢？（生：再比較）要比較幾次？（生：3次）這個例子可以說明這句話是對的。那你現在相信這句話嗎？（生：不相信）有例子可以說明這句話是正確的，為什么你還不相信？（生：還有其它的三角形）確實如此，只通過一個例子就能說明這個結論是對的嗎？你們接下來想做什么？（生：再畫一個三角形）請你們拿出鉛筆、尺子在稿紙上舉例驗證。

學生動手畫三角形，然后分組驗證。

師：有誰愿意分享你的驗證結果？分享時可以按照這樣的形式：你畫的三角形三條邊的長度分別是多少，通過這個例子說明這句話是不是正確的。（請兩個同學分享）通過剛剛的例子（板書：舉例子）都說明這句話是對的。有沒有說明這句話是錯誤的例子？（學生搖頭）現在，你們相信這個結論了嗎？（生：相信）有還不相信這句話的嗎？（一生搖頭）這么多人都相信了，你怎么還不相信？

生：不見得所有的三角形都是這樣的，可能有特別的三角形。（有剛剛相信的學生又說不相信了）

師：你怎么變了？你怎么也變了？三角形的個數是無限的，我們能把所有的三角形都一一進行驗證嗎？（生：不行）那怎么辦？

生：就像他說的，是不是有不是這樣的三角形？

師：你怎么這么厲害呢？既然無法研究所有的三角形，我們有時候要換個角度思考：是不是有兩邊之和不大于第三邊也能圍成三角形的？（板書：不大于）如果有一個這樣的反例存在，（板書：反例）我們就可以說這個結論是錯的。

3.尋找反例，引發矛盾，深度感受

師：下面我提供一些數據，要研究反例的話，你怎么選？（出示圖2）（生：4、5、10）為什么？（生：因為4+5<10）（板書4、5、10）還有其他的選擇嗎？（生：4、6、10）為什么？（生：因為4+6=10）（板書：4、6、10）

師：這樣吧，下面我們先研究三條邊長分別為4厘米、6厘米、10厘米能否圍成三角形。請你們打開學具袋，用三根這樣長度的紙條圍一圍，看能不能圍成三角形。（學生動手圍）有能圍成三角形的嗎？請你上臺圍一圍。（學生上臺展示）你們覺得這個是邊長分別為4厘米、6厘米和10厘米的三角形嗎？

生：不是，這兩條邊的頂點沒連接在一起。

師：有人認為這是（4、6、10）的三角形，有人不同意，怎么辦？當我們用實物操作遇到問題的時候，我們可以借助想象來解決。（出示圖3）如果要圍成三角形，該怎么辦？（生：把4、6兩條邊往中間靠）（課件演示從圖3到圖4的過程，學生感受兩邊的運動過程及運動軌跡）

師：（指上臺圍三角形的學生）你現在還覺得（4、6、10）能圍成三角形嗎？（生：不能）為什么你變了？

生：因為當4厘米和6厘米連在一起時會與10厘米的線段重合。

師：還有覺得（4、6、10）能圍成三角形的嗎？（有個別學生臉上有疑惑但是沒舉手）我們再來感受一次（課件演示圖3-圖4的過程）我知道，你們一定會有疑問，通過想象（4、6、10）不能圍成三角形，為什么用實物又好像能圍成呢？（出示圖5）這幾根是長度分別為4厘米、6厘米、10厘米的三條線段。要把它們圍成三角形，我們得這樣。（課件演示由圖5到圖6的過程）圍成三角形后，我們可以找出它們的三個頂點。不難發現，我們圍成的三角形其實并不是實物表示的那樣，而應該是用虛線表示的三角形。這個三角形的上面兩條邊的長度分別為多少？（生：4厘米、6厘米）那底下的那條邊長度是多少？（生：不知道）有10厘米嗎？（生：沒有）如果底邊長有10厘米會怎么樣？（生：會與上面兩條邊重合）現在能明白，實物圍成的三角形的邊長并不是（4、6、10）了吧！那（4、5、10）你們覺得可以圍成三角形嗎？（生：不可能）endprint

師：你是怎么想的？

生：（4，6，10）都不可能圍成三角形，（4，5，10）就更不可能圍成三角形了。

師：為什么更不可能？

生：因為4厘米和5厘米加起來還沒有10厘米長，圍不成。

師：你們都是這樣想的嗎？我們一起來看看。（課件演示圖7）通過剛才的觀察，你們覺得兩邊之和等于第三邊可以圍成三角形嗎？（生：不能）那兩邊之和小于第三邊能圍成三角形嗎？（生：不能）也就是說我們找不到反例。

師：現在你們相信這句話嗎？（生：相信）同學們，面對一個結論，如果我們能找到一些例子說明它是正確的，又不能找到反例，我們就可以相信它。今天我們學習的內容就是三角形的三邊關系。（板書課題）我希望今天你們能學會這個內容，更希望你們能記住今天我們學習內容的這個過程，期待以后的你們越來越會學習數學。今天我們的課就到這了，謝謝你們，下課！

評析

“三角形任意兩邊之和大于第三邊”是平面幾何中有關三角形三邊關系的一條重要定理，位于《幾何原本》第20號命題。在《幾何原本》中，它是利用“大邊對大角”的定理證明的。人教版初中數學教材中是通過觀察簡單的幾何事實，結合“兩點之間線段最短”這一樸素、直觀的公理推導出三角形的三邊關系。

在小學數學課堂，三角形的三邊關系的教學路徑一般是這樣的：首先，拋出問題“什么樣的三條線段才能圍成三角形”。接著，發給學生一些長度不等的紙條，比如，長度分別為4cm、5cm、6cm、10cm的四根紙條，讓學生動手操作，試圖獲得一些事實：（4cm、5cm、6cm）與（5cm、6cm、10cm）可以圍成三角形，而（4cm、6cm、10cm）與（4cm、5cm、10cm）卻不能圍成。最后，引導學生歸納總結出：三條線段滿足任意兩條線段長度的和大于第三條線段時可以圍成三角形（為敘述方便，我們稱之為結論①，以下同），即三角形任意兩邊之和大于第三邊（結論②）。

嚴格地說，結論①是判定，是對教師教學伊始所拋出問題“什么樣的三條線段才能圍成三角形”的回答，而結論②是性質，它回答的問題是三角形三邊具有什么樣的關系。兩者互為逆命題，邏輯上并不等價。但在實際教學中，老師們就是這么做的：為了得到結論②，先研究結論①。這樣倒過來研究，在教學中將面臨以下兩個問題。

第一個問題，當回答“什么樣的三條線段能圍成三角形”時，學生歸納出的結論常常是兩條較短線段的和大于第三條線段時，能圍成三角形（結論③）。這一結論對于判斷三條線段能否圍成三角形來說，比結論①三條線段滿足任意兩條線段長度的和大于第三條線段時，可以圍成三角形更簡潔有力，因為結論③只需判斷一次，而結論①卻需要判斷三次。但結論③并不是本節內容想要達成的教學目標。第二個問題，我們知道，當兩條線段等于第三條線段時，比如（4cm、6cm、10cm），是不可能圍成三角形的，但學生動手操作時，由于實際操作中存在誤差，卻常常“圍成”了三角形，而且對此堅信不疑。這是三角形的三邊關系教學中公認的教學難點。

我們知道，教學三角形的內角和時，一般是先給出一些形狀、大小各異的三角形，再要學生通過測量和計算各個三角形的內角和，探索三角形內角和有什么規律。學生通過測量和計算很容易發現三角形的內角和等于（或接近）180度，從而較順利地歸納出結論“三角形的內角和是180度”。受此啟發，教學三角形的三邊關系時，我們能不能也順過來，從正面直接研究三角形三邊的長度有什么規律（性質）呢？答案是否定的。比如，給出一些三角形（如下圖所示），接著學生測量出每條邊的長度，然后提出問題：“仔細觀察，你有什么發現？”學生是不可能通過觀察三角形各邊的長度發現三角形兩邊之和大于第三邊這一結論的。不止學生不能，一般成年人如果之前不知道這個結論，也很難做到。這也是小學數學課堂教學三角形的三邊關系時倒過來研究的一個重要原因。

怎么辦呢？周楷老師給出了一條解決該問題的思路。

周楷老師的三角形的三邊關系的教學路徑顯然不同，沒有采取所謂的探究性學習，而是將教學重心放在如何理解這個結論上。雖然直接給出結論，但沒有降低教學的難度和思維的含量，相反整節課的數學味更濃，思維含量更高，是一種有意義的接受性學習。

首先，直接把結論“三角形任意兩邊之和大于第三邊”拋給學生，提出問題：“你明白這句話是什么意思嗎？”在學生理解這句話后，接著追問：“你相信嗎？”“信或者不信，應該怎么辦？”引發學生產生用事實驗證的沖動，“畫一個三角形看看”。畫出三角形后，“怎么驗證呢？”引導學生測量三條邊的長度。

整節課，可以分為“理解、質疑、驗證、思辨”四個環節。對于學生來說，每一個環節都是一次思維上的考驗。事實上，僅僅理解這個結論就不是一件容易的事。“任意是什么意思？”“對于一個具體的三角形而言，任意兩邊之和大于第三邊，意味著什么？”這些問題對一個四年級的學生來說都不容易回答。只有當學生明白“對于一個具體的三角形而言，當三條邊a、b、c同時滿足a+b>c、b+c>a、a+c>b時，才能說任意兩邊之和大于第三邊”這個道理后，才算真正理解了這句話。

如何驗證是學生經歷的又一次考驗。畫一個三角形，要驗證任意兩邊之和大于第三邊是否正確，我們該怎么做呢？學生其實并沒有這方面的經驗。驗證完黑板上的三角形后，學生又各自畫出一些三角形，通過測量驗證結論的正確性。問題是，這樣就夠了嗎？從正面舉例子，例子再多，也不能說明結論是正確的。怎么辦？找反例！如果能找到一個反例則說明結論是錯誤的，如果找不到反例，則結論就更可靠。以上關于驗證的整個過程對于學生來說，由于平時缺乏相關訓練，因此更顯得彌足珍貴。

最后一個思辨環節將整節課推向高潮。學生動手操作時，似乎（4、6、10）也能圍成三角形。但在動畫演示的幫助下，通過想象及理性的思考，學生最終明白（4、6、10）是不可能圍成三角形的。

以上是周楷老師本節課的價值所在。對于教材中眾多不太好進行探究性學習的教學內容而言，本節課提供了一條全新的思路。這種處理方式值得推廣。

（作者單位：長沙市岳麓區博才寄宿小學長沙市岳麓區教研室）endprint