淺談平面直角坐標系內三角形的坐標面積公式的推導及應用
2018-03-12 03:39:18李春紅
學校教育研究 2018年24期
【摘要：】本文在平面直角坐標系中尋求一種既能解決定點三角形面積問題，又能解決動點三角形面積問題的方法，并把這種方法以公式的方式固定下來，以提高學生對數形結合的理解能力和解決實際問題的能力.
【關鍵詞：】坐標面積公式、定點、動點、逆向思維
初中階段求三角形面積的方法有很多，常見的有直接計算法與割補法.本文在此基礎上總結出一種利用坐標計算三角形面積的方法，對涉及平面直角坐標系中三角形面積問題時，用這種方法計算能省時省力.
一、平面直角坐標系內三角形的坐標面積公式的推導
例1，如圖，三角形ABC的三個頂點的坐標分別為A（xA，yA）、B（xB，yB）、C（xC，yC），求S△ABC.
解：過點A 作EF∥x軸，分別過點B、C作y軸的平行線交直線EF于點E、F，
S△ABC= S梯形EBCF-S△AEB-S△AFC
= （yA-yB+yA-yC）（xC-xB）- （yA-yB）（xA-xB）- （ yA-yC）（xC-xA）
= [（ xA yB + xB yC + xC yA）-（yA xB + yB xC + yC xA）]
把上式中的xA yB 、 xB yC 、 xC yA、yA xB 、 yB xC 、 yC xA分別記為①、②、③、④、⑤、⑥，則三角形ABC的面積公式可以表示為：
則S△ABC= [（①+②+③）-（④+⑤+⑥）]
如果把三角形ABC的三個頂點的坐標按逆時針排序如下：
則公式S△ABC= [（①+②+③）-（④+⑤+⑥）]可以描述為：三角形三個頂點的坐標逆時針排序一周，則這個三角形的面積等于“大跨度積之和”與“小跨度積之和”之差除以2.
如果把三角形ABC的三個頂點的坐標按順時針排序如下：
則 [（⑥+⑤+④）-（③+②+①）]=- [（①+②+③）-（④+⑤+⑥）]，這時S△ABC= [（①+②+③）-（④+⑤+⑥）]=- [（⑥+⑤+④）-（③+②+①）]，這個公式可以描述為：三角形三個頂點的坐標順時針排序一周，則這個三角形的面積等于“大跨度積之和”與“小跨度積之和”之差除以2的相反數.
二、三角形坐標面積公式的應用
（一） 求定點三角形的面積
例2，、已知，三角形三個頂點的坐標分別為A（-2，3）、B（6，-1） 、
C（4，5），求S△ABC.
解法一（點的坐標逆時針排序一周）：
∴S△ABC= [（①+②+③）-（④+⑤+⑥）]（三角形坐標面積公式）
= [（2+30+12）-（18-4-10）]
= ×40
=20
解法二（點的坐標順時針排序一周）：
∴S△ABC=- [（⑥+⑤+④）-（③+②+①）]（三角形坐標面積公式）
=- [（-10-4+18）-（12+30+2）]
=- ×（-40）
=20
（二） 求動點三角形的面積
例3，、如圖，在直角坐標系中，直線AB與拋物線y=x2+x的交點A、B的坐標為A （-1，0）、B（1，2）.
（1）在拋物線上是否存在點Q （x，y），且-1 （2）在拋物線上是否存在點P，使S△ABP=2？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由. 解：（1）結論：存在. 理由：∵點Q的坐標為（x，y），且在拋物線上， ∴Q點的縱坐標y=x2+x， △ABQ三個頂點的坐標逆時針排序一周如下： ∴S△ABQ= [（①+②+③）-（④+⑤+⑥）] （三角形坐標面積公式） = [（-y +2x+0）-（0+ y-2）] = （-2y +2x+2） =-y +x+1 =-（x2+x）+x+1 =-x2 +1 當x=- =- =0時，S△ABQ最大=1，此時y=x2+x=02+0=0. ∴滿足條件的點Q的坐標為（0，0），S△ABQ的最大值為1. （2）結論：存在. 理由：設點P的坐標為（x，y），且在拋物線上， ∴P點的縱坐標y=x2+x， 以上△ABP三個頂點的坐標排序可能是逆時針（x<-1或x>1），也可能是順時針（-1< x<1）， ∴ [（①+②+③）-（④+⑤+⑥）]=±2（三角形坐標面積公式） [（-2+ y +0）-（0+2x-y）]=±2 y-x-1=±2 （x2+x）-x-1=±2 x2-1=±2 可得兩個方程：x2=3，x2=-1（無解）， 解x2=3，得x1=- ，x2= ，從而可得y1=3- ，y2=3+ . ∴滿足條件的點P的坐標有兩個點P1（- ，3- ）、P2（ ，3+ ）. 總之，三角形的面積用坐標的形式公式化以后，可為學生提供解決定點簡單問題和動點復雜問題的通法，對解決實際問題起到事半功倍的作用. 參考書目 初、高中教材 《數學公式大全》 作者姓名李春紅，郵編652100，電話13518705803，地址：昆明市宜良縣第二中學，郵箱498396017@qq.com
