淺談線性方程組與線性空間的聯系

馬思遙+宮春梅

【摘要】本文通過線性方程組求解這一問題的提出、分析和理論的建立，展現了其與線性代數若干基本概念——矩陣、行列式、n元向量、向量組的線性相關性之間的關系，更進一步探討了線性方程組解的幾何結構和幾何意義與線性空間、雙線性空間的聯系.這為學習線性方程組理論和代數理論體系提供一條重要思路.

【關鍵詞】線性方程組；矩陣；行列式；n元向量；線性空間

【基金項目】陜西省教育廳專項科學基金（15JK1411）；西安建筑科技大學專業骨干課程建設（1609217071）；西安建筑科技大學校級教改項目（6040417086）.

一、引 言

討論線性方程組的一般理論，從中找出規律性的東西，是討論線性方程組求解問題的基礎，也是線性代數的主要研究課題.線性方程組求解這一問題的提出、分析和理論的建立串聯起矩陣代數、行列式、n元向量、向量組的線性相關性等若干線性代數基本概念.線性代數基本概念也是高等代數的主要概念，在代數理論的進一步學習中，線性空間和雙線性空間這兩個重要的抽象概念體現出它所涵蓋內容的廣泛和所反映事物本質的深刻.關于線性方程組解的幾何特性，線性空間和雙線性空間給出了最好的解釋.在本文末，關于線性方程組的可解性的討論中，我們又提到了歐幾里得空間，說明線性方程組無解時，在歐幾里得空間中可通過最小二乘法給出最小二乘解的代數條件.

五、小 結

線性方程組理論在線性代數歷史發展過程中具有重要的地位.最初的線性方程組問題大都是來源于生活實踐，而實際問題又刺激了線性代數這一學科的誕生與發展.本文通過線性方程組解這一問題的提出、分析和不同角度的討論，讓我們看到線性方程組理論的發展不僅促成了作為工具的矩陣論和行列式理論的創立與發展，線性空間、雙線性空間理論也能夠很好地解釋線性方程組解的幾何意義，歐幾里得空間上的最小二乘解又進一步突破了線性方程組的可解性的討論.因此，討論線性方程組解的一系列工作，不僅讓我們掌握了線性代數中這些重要概念，更是通過線性方程組解的討論這一主線串聯起線性代數中重要概念之間的聯系.隨著計算機應用的普及，計算數學對線性方程組的數值解法也取得了很大的進展，這將使得線性方程組理論更加完善.

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