數列極限定義教學的研究與實踐

高愛平

【摘要】本文通過對數列極限“ε-N”定義難點的分析，尋找能夠適應高職高專學生的教學方法，以幫助初學者深刻理解數列極限的精確定義.

【關鍵詞】數列極限；“ε-N”定義

數學分析課程的研究對象是函數，研究內容是函數的分析性質，包括連續性、可導性、可微性、可積性，而極限方法是研究函數分析性質的主要工具，數列極限又是極限概念的基礎，理解好數列極限概念，掌握好極限思想方法對學好數學分析乃至后續課程都將起到事半功倍的作用.但是長期以來，高職高專的師生都反映數列極限概念難教難學.本文擬從分析數列極限概念教學難點入手，探索適合高職高專學生的教學方法，讓大一新生順利邁進數學分析的高門檻.

一、難點分析

（一）極限概念的本身特點

數列極限概念本身具有數學語言抽象，邏輯結構復雜的特點.它涉及諸如“無限增大”“無限逼近”“任意”“給定”“存在”等抽象的數學術語，概念敘述煩瑣符號多，關系錯綜復雜，常常使學生感到莫名其妙.數列極限概念蘊含豐富的辯證法思想、符號化思想，借助極限思想，人們認識了有限與無限、不變與變、量變與質變、直與曲、近似與精確的辯證統一.教師在教學過程中應注意借助辯證法思想、符號化思想的啟發，培養學生的思維方法和思維品質，促其提高分析問題和解決問題的能力.

（二）學生認知的發展水平

另一方面，學習困難來自學生自身.高職高專學生的數學基礎不夠扎實，學習興趣不夠濃厚，學習能力有待提高.由高中進入大學后，學習高等數學時的第一個公認難關就是數列極限，新概念的構建與學生已有的舊知識、舊思想、舊方法有很大差別，難免一時弄不明白，倍受打擊，不利于充分發揮學生的智力.極限概念的產生是數學家對那些不能用算術、代數、初等幾何等簡單方法來解決的問題進行了漫長頑強探索的結果，有著兩千多年的歷史，在引入數列極限概念時，教師應向學生介紹其產生的文化背景，清楚極限在高等數學的核心地位，用數學家的探索精神，求真精神去激發他們的學習興趣和求知欲，打好入門這一仗.

（三）教學理念的局限

目前數學分析的教學還是滿堂灌，為趕進度馬不停蹄，缺乏學生實操訓練與課后反饋.數學分析的內容具有高度的抽象性和邏輯性，在教學過程中過于強調抽象的理論和嚴密的邏輯，面面俱到，無懈可擊，結果只能是讓學生望而生畏，敬而遠之.

二、難點突破

（一）歷史背景引入

極限思想在我國古代的文獻中早有記載：莊周的“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，古代杰出的數學家劉徽創立的“割圓術”求圓周長，阿基米德的“窮竭法”求曲邊三角形的面積，等等.這些問題主要是無限問題，它把某些實際問題的研究放在無限過程中接受考察，極限概念就是為了求這些實際問題的精確解而產生的.

“割圓術”求圓周長，“窮竭法”求曲邊三角形的面積這里不宜展開，莊子的“截杖”易于操作理解，可作為新生的敲門磚.為激發學生學習興趣，調動學生積極思考，利用四格漫畫“羊吃草”，探討羊所哭為何，能認識到數列極限既是一個過程（萬世不竭），又是一個結果（羊大哭），反映了一個無窮數列在無限變化過程中的發展趨勢和發展結果，就是研究當自變量n發生變化時，數列的項的變化趨勢，至于能不能到達那個“位置”，則沒有做出要求.

（二）圖形語言動畫演示數列的極限

極限概念本身就是一個動態的漸進過程，用動態的形式把它展現出來，還原其本來面目，就像物理、化學的實驗一樣，更加直觀具體地去認識它.Matlab具有方便的數據可視化功能，利用這款數學軟件，可以將數列極限12n，nn+1，（-1）nn繪制出來.

n=1；y=1.5；plot（n，y）；xlim（[0，10]）；ylim（[0，05]）；for n=1：10；y=1/（2.^n）；drawnow

hold on；plot（n，y，′rd′）；pause（0.1）；%決定動態時間end

Matlab的仿真效果，可視化功能，動態直觀演示，代替手工作圖，便于觀察自變量n無限增大時，數列的項12n的變化趨勢，得到數列極限的感性認識，加深對極限及其變化規律的理解，并能激發學生興趣，提高教學效果.

（三）文字語言直觀描繪數列的極限

數學概念不能只停留在表象，必須揭示概念內涵，遵循“感知—表象—概念”的認知過程，引導學生觀察數列動圖，結合函數的單調性，要求能用文字語言概括上述現象，得到極限的定性描述.

“當n增大時，12n單調減小.當n無限增大時，12n無限減小，無限趨近于一個常數就是0”.

“當n增大時，nn+1單調增加.當n無限增大時，nn+1無限增大，無限趨近于一個常數就是1”.

“當n增大時，（-1）nn沒有單調性.當n無限增大時，（-1）nn無限趨近于一個常數就是0”.

并能分辨出不是數列{an}在減小，而是數列與常數的距離|an-a|在無限減小，無限趨近于0.

（四）符號語言精確定義數列的極限

如此直觀描繪的極限好理解，但在后續知識的應用中，操作起來極不方便.比如，中學減函數的直觀描繪：“隨著自變量的增大而函數值在減小的函數叫作減函數”，當其轉化為精確定義是：“x2>x1，有f（x2）≤f（x1）”，后續知識方可借助其精確定義進行嚴謹的論證.數列極限的直觀描繪也迫切地需要符號化為精確定義，借助這個工具，進一步研究函數的分析性質.

不失一般性，以數列（-1）nn為例，當n=100時，有（-1）nn-0=0.01；當n<100時，有（-1）nn-0>0.01（減小“<”，遠離“>”）；當n>100時，有（-1）nn-0<001（增大“>”，趨近“<”，以此類推）……當n>1 000時，有（-1）nn-0<0.001……當n>10 000時，有（-1）nn-0<0000 1……不勝枚舉，于是引入符號ε，N，當n>N時，有（-1）nn-0<ε.反之亦然，要使（-1）nn-0<ε，只要n>N.其中ε是任意給定的小的正數，要多小有多小，ε越小，（-1）nn-0<ε的成立表明數列（-1）nn越趨近于0，且此式成立要求n>N（N與ε有關），與最初有限項無關.于是，不難給出數列（-1）nn的極限是0的定量定義：n>Nε（自然數Nε），有（-1）nn-0<ε（ε>0）.從而得數列{an}的極限是a的定量定義：ε>0，Nε∈N，n>Nε，有|an-a|<ε.

三、結 語

對于高職高專的學生，剛開始認識數列極限的時候，不宜一味追求嚴密無懈，急于描繪類似于sinnn這種忽遠忽近波動著無限逼近常數0的數列.仿唐詩《望岳》：艾普小如何，只要把N找.當n更大時，一覽眾差小；仿唐詩《春曉》：艾普任意小，遠處把N找.從此N以后，距離a愈少；再如，幾何意義：ε小an愈近，N大n更優.此N的后面，數列鄰域收.可活躍課堂氣氛，調動學習熱情，吸引積極討論，亦是無傷大雅的.

【參考文獻】

[1]劉玉璉.數學分析[M].北京：高等教育出版社，1994.

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[3]同濟大學應用數學系.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2002.