“數學符號意識”淺探

楊振一

【摘要】新課程標準要求將學生符號意識的培養作為重點.與數學知識及技能相比較，“數學符號意識”極為特殊，其指的是一種素養，在學習數學知識及技能的過程中循序漸進地養成.本文以“數學符號意識”的取向作為切入點，針對其內涵及維度進行淺探.

【關鍵詞】數學符號意識；內涵；維度

一、“數學符號意識”的取向

數學核心素養可通過“數學符號意識”加以體現，主要通過抽象符號、數學學科、心理意識三要素反映出來.

（一）符號學取向

亞里士多德將邏輯學及知識論視作研究的出發點，提出思維在符號和實際事物之間存在相應的關聯效用.瑞典語言學家索緒爾將語言學視作切入點，對符號進行了定義，即在事物X能夠取代事物Y并且能夠將其表示的時候，X即可被稱為Y的符號.美國的符號學家皮爾士將符號學視作切入點，提出其主題為符號、對象及闡釋，其中對象指的是實際事物或另一個表征符號，而使用者大腦中出現的闡釋則為對象及符號關聯的根基.由此可見，符號是具有特殊意義的物質對象.

（二）數學學科取向

符號是數學的起點，數學符號具有廣泛的統一性，許多數學研究成果的獲取都與符號的創造密切相關.代數的符號化是當代科學技術發展的基礎，它的出現有力推動了變量數學的發展進程.所以，在數學發展的歷史長河中，“數學符號意識”始終伴其左右，促進其更好地發展.甚至可用數學的發展史來闡述上述意識的發展歷程.在對此意識進行培養之后，能夠使數學思維過程具有更高的精準性及簡潔度.

（三）心理學取向

心理學研究者，將意識視為一種認識活動，具有較高的繁雜度，涵蓋了直覺、思維、感悟等.其存在于個體的所有心理活動當中，調整與管控個體的行為.在人的所有心理活動中發揮著調整、指導和管控的功效.在筆者看來，符號意識是外顯性和內隱性的統一和諧的一種反映，前者主要通過對其感知、計算、推理等綜合能力來加以展現，后者則主要通過以思維為導向的心理認知活動來加以展現.

二、“數學符號意識”的內涵

符號意識在近幾年受到相關研究者的高度重視，并且進行了一系列研究活動.何小亞（2003）在探究之后提出，符號感實際上想表達的是對數學符號的剖釋和應用，是一種數學表達的思想和方式，而非相關感受.曹艷榮（2004）在探究之后指出，符號感是個體自主積極去對符號的內涵、價值、作用進行剖釋，并且養成運用的意識，在平常的生活學習中習慣于對其加以應用.J.Fey（1990）指出符號意識是以符號表達與操作為基礎的非正式技能.Arcavi提出符號意識是對符號的鑒賞、理解與直覺.在數學學習中，知識和技能主要用來處理實際問題或者解答相關題目，而符號意識則更加重視在相關學習期間促進學生思維的發散.所以，“數學符號意識”是一種數學核心素養，不但囊括了數學范疇內與符號相關的知識及技能，還囊括了學生的綜合思維能力.由此可見，筆者認為可將“數學符號意識”看作學習者受到思維的指引，對數學知識及數學符號之間抽象對應關系的一種積極主動的心理認知活動，并且在借助數學思維解答相關題目的時候所反映出的一種數學素養.

三、“數學符號意識”的維度

按照J.Fey、Arcavi的研究結果以及文件對符號意識的闡釋，我們在此可將“數學符號意識”劃分成四個維度，即感知、運算、推理及表征維度，具體闡釋如下.

（一）數學符號感知維度

感知是對數學符號的一種直覺認知，涵蓋的不僅僅是后者自身所具備的獨特意義，同時還涵蓋了對后者神奇力量的欣賞，獲悉其所深藏的含義與應用條件，感受其暗示功能與意圖所在.此為數學學習期間最關鍵也是最核心的要求.數學符號感知存在三種狀態，具體如下：其一，孤立認識，能夠借助其形式而發現其所深藏的深層含義及特殊指向，然而卻無法解釋數學符號間的聯系；其二，混淆，對其特殊內涵及意義無法理解；其三，完全理解，能夠將數學符號間的聯系發現，并且能夠對其在不同題目中所具備的特殊含義有所理解.

（二）數學符號運算維度

在數學活動中，運算是一種關鍵形式，對算理的理解和掌握是其實質所在.譬如，通過字母來對數進行代表并且加以運算就是代數思維的充分反映，是基于數的抽象的再次抽象.在運算數學符號的時候，首先應當明確算理，而后再通法則，對符號所代表的關聯牢牢把握.所以，以數學運算為基礎的符號操作即為數學符號運算的重中之重，該操作是解答代數題目的輔助方式，學生必須學會如何使用，從而更好地理解借助其完成運算所獲取的結果具有一般性的特點，進而深入體會到數學符號的實質.相應的運算主要涵蓋了數字符號、符號形式以及符號的抽象運算三個階段.學生可以將算理作為出發視角，對具體的運算產生更好的理解，從而闡釋出所獲取的結果的一般性.

（三）數學符號推理維度

合情及演繹推理共同構成了數學符號的推理，前者是獲取數學結果猜想的關鍵方式，同時也是從特殊到普通的推理方式，然而獲取的結果不一定正確，必須通過演繹推理來進行檢驗.所以，后者與前者相反，是從普通到特殊的推理方式.同時，大、小前提及結論三部分的論證形式都涵蓋在后者當中，而大前提被作為根基，小前提被視作橋梁，通常都會出現在證明命題的過程當中.身為數學工具的符號推理，并非是借助說教活動就能獲取，而必須是學生自己的真實感悟，對其提出相應的要求，需要具備一定的觀察力與直覺.所以，對于數學符號推理，學生通常會展現出三個水平：第一，無法借助數學符號完成推理，邏輯思維不具備條理性；第二，可以通過合情推理猜想具體結論，或者借助演繹推理論證問題，只具有一個推理思維；第三，同時具備兩種思維，能夠完成從猜想到驗證的整個數學符號推理過程.

（四）數學符號表征維度

以數學符號的視角進行表征是發展相應意識的關鍵之處.數學符號表征屬于一種表現，具有較高的理性，能夠使相關問題的處理表現出相應的規律性，從而使得無關信息不會對整個解決問題的過程造成任何不利影響.同時，從中找出具有共性的內容，使有序思維得到提高.因此，站在一定的視角而言，數學符號表征作為一種意識，必須對其加以強化與提升.

數學符號表征的表現主要集中在三方面，具體如下：第一，無法選取出合適的符號來完成相應的數學表征，但是卻處于一種對符號表征毫無意識的狀態；第二，能夠選取單獨的某個數學符號而完成相應的數學表征，但是卻處于一種缺少靈活性的機械性狀態；第三，能夠合理選取某種數學符號完成相應的表征，并且可結合實際情況及現實需要而及時做出恰當的調整與更換，靈活處理多個數學符號間的相互替代及轉化，對相應表征的多樣化充分剖釋，也就是俗稱的可以對其活學活用.

綜上所述，要培養和發展學生的符號意識，必須將符號意識內涵的明確作為重點，并且以此為切入點.與此同時，正確評估學生的數學符號意識是不是已經得到有效培養和鍛煉.另外，結合評估結果，制訂出科學的學習目標，設計合理的學習方案.作為一種數學核心素養，符號意識必須存在于整個數學學習過程當中，必須通過學生自己切實感悟及體會才可獲得，而并非慣常的說教方式即可掌握.換句話說，只有全面培養學生對數學符號的感知、運算、推理及表征能力，將符號的內涵和數學知識進行良好連接，使學生透徹理解了二者之間的關系，才會逐漸養成數學符號意識，在解答相關的題目或者處理相關的問題之時，才可發散思維，找到最優解.

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