依托立體幾何，傳播數學文化

孫建國

【摘要】2017年高考數學考試大綱第一次明確提出在高考數學中考查數學文化，近年來高考和模擬試卷中出現以古典數學名著《九章算術》為背景的新穎命題，蘊含濃厚的文化氣息，將數學知識、方法和文化融為一體，有效考查了學生在新情境下對知識的理解以及遷移到不同情境中去的能力.本文收集整理近幾年高考和模擬試卷中出現的以《九章算術》為背景的立體幾何試題揭示其文化內涵，希望能對大家的高考備考有所啟發.

【關鍵詞】九章算術；圓周率；塹堵；陽馬；鱉臑

中國古代數學取得了極其輝煌的成就，出現了劉徽、祖沖之、秦九韶等偉大的數學家，以及眾多數學名著，《九章算術》便是其中的代表作，尊為古代數學之首.它遵循“經世濟用”，涉及的研究大多與實際生活、生產緊密結合，具有濃厚的實際背景，其體現出明顯的問題式、綜合性和算法的特征.

根據教育部考試中心下發的《關于2017年普通高考考試大綱修訂內容的通知》，數學大綱最大的變化之一就是第一次明確提出了在高考數學中考查數學文化.

立體幾何是中國古代數學的一個重要的研究內容，從中國古代數學中挖掘素材，考查立體幾何的有關知識，既符合考生的認知水平，又可以引導考生關注數學文化.本文從近年來高考和模擬試卷中選取《九章算術》中與立體幾何有關的數學文化題加以分析，期望能對大家的高考備考有些許啟示.

考點一：幾何體的體積

例1 （2015年全國Ⅰ卷）《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內角，下周八尺，高五尺，問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內墻角處堆放米（如圖所示，米堆為一個圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有（ ）.

A.14斛

B.22斛

C.36斛

D.66斛

答案 B.

此題源于《九章算術》第五卷《商功》之[二五]，將古代文化“依垣”和現代教育元素“圓錐”結合，對培養考生的愛國情操和認識中華古典文化有著深刻的意義.

訓練1 《九章算術》商功章有題：一圓柱形谷倉，高1丈3尺313寸，容納米2 000斛（1丈=10尺，1尺=10寸，斛為容積單位，1斛≈1.62立方尺，π≈3），則圓柱底圓周長約為（ ）.

A.1丈3尺B.5丈4尺

C.9丈2尺D.48丈6尺

答案 B.

考點二：三視圖

例2 中國古代數學名著《九章算術》中記載了公元前344年商鞅督造一種標準量器——商鞅銅方升，其三視圖如圖所示（單位：寸），若π取3，其體積為12.6（立方寸），則圖中的x為（ ）.

A.1.2B.1.6C.1.8D.2.4

答案 B.

訓練2 《九章算術》中，將底面是直角形的直三棱柱稱之為“塹堵”，已知某“塹堵”的三視圖如圖所示，俯視圖中虛線平分矩形的面積，則該“塹堵”的側面積為（ ）.

A.2B.4+22

C.4+42D.6+42

答案 C.

將高考立體幾何中的高頻考點三視圖與青銅器皿“商鞅銅方升”、古典幾何體“塹堵”有機結合，提升學生用三視圖還原立體圖形的能力，將數學知識和數學文化有機融合考查.

考點三：圓周率估算

例3 （2012年湖北卷）我國古代數學名著《九章算術》中“開立圓術”曰：置積尺數，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即立圓徑.“開立圓術”相當于給出了已知球的體積V，求其直徑d的一個近似公式d≈3169V.人們還用過一些類似的公式.根據π≈3.141 59…判斷，下列近似公式中最精確的一個是（ ）.

A.d≈3169VB.d≈32V

C.d≈3300157VD.d≈32111V

答案 D.

球是最完美的幾何體，揭示球的直徑與體積之間的關系是我國古代數學的重要研究內容.本題以“開立圓術”為背景給出了4個歷史上曾經使用過的關于球的直徑與體積之間的關系的近似公式.命題人巧妙地采用“下列近似公式中最精確的一個是”這種相對隱蔽的設問方式讓考生自己去尋找判斷方法，滲透對考生創新意識的考查.

訓練3 《九章算術》卷5《商功》記載一個問題：“今有圓堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺.問積幾何？答曰：二千一百一十二尺.術曰：周自相乘，以高乘之，十二而一.”這里所說的圓堡瑽就是圓柱體，它的體積為“周自相乘，以高乘之，十二而一”.就是說：圓堡瑽（圓柱體）的體積為V=112×（底面的圓周長的平方×高）.則由此可推得圓周率π的取值為（ ）.

A.3B.3.14C.3.2D.3.3

答案 A.

學生經歷從古代和現代的圓柱的體積公式估算圓周率的過程，感受古代勞動人民的勤勞和智慧.

考點四：解答題型

例4 （2015年湖北卷）《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.

如圖所示，在陽馬P-ABCD中，側棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，過棱PC的中點E，作EF⊥PB交PB于點F，連接DE，DF，BD，BE.

（Ⅰ）證明：PB⊥平面DEF.試判斷四面體DBEF是否為鱉臑，若是，寫出其每個面的直角（只需寫出結論）；若不是，說明理由.

（Ⅱ）若面DEF與面ABCD所成二面角的大小為π3，求DCBC的值.

答案 （Ⅰ）證明略；四面體DBEF是一個鱉臑，其四個面的直角分別為∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB.（Ⅱ）22.

以《九章算術》中的陽馬和鱉臑為載體，考查立體幾何中的高頻考點垂直和二面角，現代高考中滲透古典數學文化元素，提升學生數學文化的鑒賞力.

訓練4 趣味思考：

① 取一長方體如何分割可以得到兩個一模一樣的“塹堵”？

② 取一“塹堵”如何分割可以得到“陽馬”和“鱉臑”？

劉徽在《九章算術》第五卷《商功》中記載：“邪解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑.陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也.”這番關于體積問題的論述已經接觸到現代體積理論的核心問題，指出四面體體積的解決是多面體體積理論的關鍵.

在文理不分科，學科之間深度融合的大背景下，2017年數學高考大綱也第一次明確提出了在高考數學中考查數學文化，從中華古典數學名著（如，《九章算術》）中選取與當今高中數學教學相應的題材背景，經命題專家精細加工，再滲透現代數學思想和方法，編制出當今數學高考試題，是高考考查數學文化的重要命題方向之一.但是如何將數學文化自然地融入高考數學試題，仍是一個重大的課題.

王梓坤曾說：“數學文化具有比數學知識體系更為豐富和深邃的文化內涵，數學文化是對數學知識、技能、能力和素養等概念的高度概括.”隨著新課改的不斷深入，數學文化已經進入新課標和數學教材.隨著富有數學文化內涵的高考題的不斷涌現，定會引領教師去挖掘和探究，繼而把數學文化教育不知不覺地滲透到課堂教學中，最終實現《課標》的預期目標，進而達到數學文化育人的目的.

【參考文獻】

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