構造法在高中數學解題中運用的分析及研究

陳泓熹

【摘要】高中數學是我們學習的主要學科之一，提升數學學習水平的重要途徑，一方面，是掌握數學公式和基礎知識，另一方面，則在于數學解題思維的培養.本文主要分析了構造法在數學解題中的應用，并通過例題的方式對實際應用進行了解析，目的在于提高我們高中學生數學綜合素質.

【關鍵詞】高中；數學；解題；構造法

數學是高中階段的一門基礎學科，隨著學段的不斷增加，數學難度也越來越高，所以解題難則是我們高中生一直以來面臨的問題.基于此，構造法便在高中數學解題中得以普遍運用.利用構造法，可以使抽象的數學問題形象化，降低數學問題的難度，調動學生學習數學的積極性，樹立自信心.下文便以構造法為前提，分析其在數學解題中的具體應用.

一、構造法概述

（一）構造法

構造法即根據已知數學解題形式，利用一定的解題步驟進行數學問題求解的方法[1].一般學生在求解問題時，都將會形成思維定式，善于從正面思考問題，按照問題中的已知條件逐步推出答案，但是這一方法并不是適用于所有的問題，所以需要更換思維方向才能夠順利完成解題，而構造法的應用，便能夠滿足以上要求.

（二）數學構造法

數學構造法即數學學習以及解題過程中，所使用的重要方法，學生在求解數學問題的過程中，若一直按照以往的思維方法無法獲得答案，便需要更換思考方向，利用反向思維發現問題中已知條件、數量等，突破正向思維的限制，建立一個全新的問題形式，從而將問題重新展現出來，進而達到降低數學問題難度的目的[2].數學構造法在數學解題中的應用非常普遍，其本身也體現了多樣化、靈活以及創新等優勢.和傳統數學思維不同之處在于，數學構造法應用的重點體現在“創新”.

二、高中數學解題中構造法的運用

進行數學問題求解時，構造法已經得到了學生普遍的應用，在應用的過程中，最為經典的便是構造輔助函數法、構造方程法等.

（一）方程構造法

所謂方程構造法，是高中數學習題求解過程中使用效率最高的構造法之一.方程式對高中生而言十分常見，且方程本身作為數學的一項關鍵內容，也和函數等其他知識關聯非常緊密.通過題型、已知數量關系以及結構特點，假設建立等量性公式，對幾個不同的未知量存在的相互聯系和方程式等量關系進行分析，并使用恒等式多角度變形這一方法，使數學習題內所包含的抽象內容轉變為特殊、實質的內容，以提高學生數學解題的速度與質量.此外，運用方程構造法求解數學習題，也能夠有效提高學生的觀察能力和思維能力.

例1 設a，b，c為實數，若（a+c）（a+b+c）<0，證明（b-c）2>4a（a+b+c）.

解析 所證不等式（b-c）2-4a（a+b+c）>0，由此可聯想到一元二次方程根的判別式，即b2-4ac，由此便可以構造二次函數f（x）=ax2+（b-c）x+（a+b+c），只需要證明方程f（x）=0有兩根，或者是f（x）和x軸相交即可.

當a=0時，由已知條件可得b≠c，反之，若b=c，那么c（b+c）<02b2<0則不成立.當a≠0時，設f（x）=ax2+（b-c）x+（a+b+c），因為f（0）=a+b+c，f（-1）=2（a+c），由已知（a+c）（a+b+c）<0，所以，f（0）·f（-1）<0，所以二次函數f（x）圖像和x軸相交，所以Δ=（b-c）2-4a（a+b+c）>0，即（b-c）2>4a（a+b+c）.

由此可知，通過方程構造法進行高中數學習題求解，可以降低數學題的難度，提高學生思維能力與觀察能力，實現數學學習水平的提升.

（二）函數構造法

函數是高中數學領域內的一項重要內容，并且和方程一起構成了高中數學兩大基礎性結構.通過函數構造法求解數學習題，可以有效培養學生解題思維，使學生將學習到的知識運用到實際解題中[3].學生除了要學會解題技巧之外，也要培養解題思維，這是數學習題求解過程的主線.所有的數學習題中，代數習題與幾何習題都包含了函數思想，因此，對這些這類題目進行求解時，便可以運用函數構造法，將難度大的數學問題轉變成為比較簡單的函數問題，再對其進行求解，在轉化的過程中，學生思維與創新性也得到了提升.

例2 已知x，y，z∈（0，1），求證：x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<1.

解析 通過分析可知，本題的條件和結論都體現了對稱性，所以很難直接證明，可以采用函數構造法進行求解.

證明 構造函數f（x）=（y+z-1）x+（yz-y-z+1）.（是否需要詳細說明，最好用分析法證明不等式的思想）

∵y，z∈（0，1），

∴f（0）=yz-y-z+1=（y-1）（z-1）>0，f（1）=（y+z-1）+（yz-y-z+1）=yz>0，而f（x）是一次函數，其圖像是直線.

∴由x∈（0，1）恒有f（x）>0，即（y+z-1）x+（yz-y-z+1）>0，整理可得x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<1.

三、結束語

綜上所述，構造法在高中數學解題中的應用，既能夠降低習題難度，改變數學題的抽象特點，也可以培養學生的數學思維、創新能力，使學生的數學學習能力得到提升，為今后數學知識的學習以及習題的求解奠定了扎實的基礎.

【參考文獻】

[1]張帆.淺談在高中數學解題教學中如何巧用構造法[J].科技資訊，2011（12）：175.

[2]任海莉.淺談構造法在數學解題中的優點和作用[J].科技資訊，2011（33）：166.

[3]楊燕.淺析構造法在高中數學解題中的應用[J].讀與寫（教育教學刊），2016（9）：112.