關(guān)于圓周率的又一種解法

吳潤(rùn)鑫

【摘要】本文基于初等數(shù)學(xué)的幾何與代數(shù)方法，同時(shí)應(yīng)用高等數(shù)學(xué)的極限思想，提出圓周率的正弦與正切表達(dá)式.當(dāng)循環(huán)次數(shù)大于10時(shí)，該計(jì)算方法可準(zhǔn)確得到圓周率的小數(shù)點(diǎn)后5位；當(dāng)循環(huán)次數(shù)大于25時(shí)，該計(jì)算方法可準(zhǔn)確得到圓周率的小數(shù)點(diǎn)后14位；當(dāng)循環(huán)次數(shù)大于30時(shí)，該計(jì)算方法可準(zhǔn)確得到圓周率的小數(shù)點(diǎn)后15位.本方法可以作為計(jì)算π的一種簡(jiǎn)單、有效的方法.

【關(guān)鍵詞】圓周率；三角函數(shù)；圓心角；弧長(zhǎng)；無(wú)限分割

一、引 言

圓周率用希臘字母π表示.公元前3世紀(jì)之前，古巴比倫、古印度和古代中國(guó)分別開(kāi)始研究圓周率的計(jì)算；公元前3世紀(jì)，古希臘阿基米德計(jì)算圓周率在3～4之間；公元3世紀(jì)，中國(guó)劉徽提出割圓法，得到圓周率的4位精度；公元5世紀(jì)，中國(guó)祖沖之得到圓周率7位精度，并得到兩個(gè)近似值.1 200年后，1609年德國(guó)魯?shù)婪虻玫綀A周率35位精度，1761年，瑞士蘭伯特證明圓周率是無(wú)理數(shù)，1882年，德國(guó)林德曼證明圓周率為超越數(shù).電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)使π值計(jì)算有了突飛猛進(jìn)的發(fā)展，如今，計(jì)算機(jī)已算到π的后幾千萬(wàn)億位小數(shù).

在天文立法研究中常用到π，其研究通常與圓的研究聯(lián)系在一起.以往π的研究重在對(duì)多邊形邊的研究，而本文則側(cè)重對(duì)多邊形角的研究.受劉徽割圓法的啟示，從圓的內(nèi)接正多邊形與外切正多邊形兩個(gè)方法無(wú)限趨近于圓，盡管三角函數(shù)是用圓推出來(lái)的，本文仍將從三角函數(shù)出發(fā)，推導(dǎo)π的計(jì)算公式，尋求數(shù)學(xué)上的簡(jiǎn)潔之美.