《數值分析》課程中應用“翻轉課堂”教學模式的探討

摘要：隨著互聯網時代信息技術的快速發展，傳統封閉的數學課堂教學已經越來越不能夠與時代相適應。作為互聯網時代特有的創新教學形式——翻轉課堂，為學生創設了開放、個性化的學習空間。本文分析了在“數值分析”課程中采用翻轉課堂教學法的必要性。結合翻轉課堂教學模式的特點與研究生數值分析課程的特殊性，以最小二乘法知識點為例，設計了實施翻轉課堂教學的主要流程和細節。

關鍵詞：翻轉課堂教學模式；數值分析；最小二乘法；創新能力

中圖分類號：O241 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2018）06-0179-03

一、引言

翻轉課堂（Flipped Classroom）[1-5]是一種全新的教學模式，課前教師把將要學習的新內容的學習資料先發給學生，讓學生通過觀看視頻、在線互動答疑、完成練習等多種方式的課前學習來獲取信息，在課堂上，教師主要是對學生遇到的問題進行指導，做一些綜合性的練習，引導學生分析問題并運用所學知識解決問題和把握教學效果。數學作為科學研究與工程技術中的一門基礎學科，其作用不斷得到深化。如今，數學的應用范圍已幾乎覆蓋了整個學科框架，成為進行科學研究必不可少的技術手段[6]。而其中，衡量研究生科研能力的一個重要標準就是應用數學的能力[7]。數值分析作為應用數學的一個分支，其研究方向主要包括利用計算機解決數學問題的數值方法及相關理論，隨著研究的不斷深化，數值分析逐漸成為橫跨數學與計算機科學的雙重交叉性學科。該學科的主要特點在于既包含純數學的系統性和嚴密性，又在研究重點上與純數學保持不同。“數值分析”作為我校電氣工程領域專業學位研究生基礎應用型課程中的一門重要科目，對于學生科學思維的培養以及后續更高層次課程的學習都是有極為重要的作用[8]。“數值分析”覆蓋內容廣泛，數值計算方法介紹章節梯度較大[9]。該門課程既保持了純數學的抽象性與嚴密性，又突出了應用學科的廣泛性和技術性，因此被學界一致認為是傳授難、學習難的一門課程。針對數值分析課程的上述特點與我校電氣工程領域專業學位研究生的要求，本文旨在分析“數值分析”課程教學現狀，探討將翻轉課堂教學模式引入到數值分析教學中，改革傳統的研究生教學方法。

二、教學現狀

1.教學學時少和教學內容多之間的矛盾。由于數值分析學時少、內容多，教師為了在有限的課時內完成所有的教學任務，滿堂課只聽見教師滔滔不絕地講授著規定的教學內容。這種教學方法的缺點是：對于課前沒有預習的學生，如果課堂上有幾分鐘跟不上教師的思維，課后又不及時復習，導致一次課下來真正掌握的新知識是非常有限的。另外，由于單是向學生講授那些最基本的課程內容就幾乎占據了全部的教學時間，原本計劃采用的其他教學活動所占的時間只能一壓再壓，學生的課堂學習活動難以深入。而數值分析不僅僅是教會學生做題，更主要的任務是培養學生發現問題、分析問題進而解決問題的能力及以創新能力。

2.學生基礎與學習能力參差不齊。我校研究生來自全國各個高校，每個人的學習特點以及學習能力都有著各自的不同，一個班級內學生的學習基礎與學習能力參差不齊。傳統的研究生教學，采用以教師講授為主的教學模式。在這樣的教學模式下，由于一樣的節奏，一樣的信息，教師無法對每個學生進行輔導，難以滿足每個學生的需求。這就會導致學困生覺得內容太難、進度太快，而優等生覺得內容簡單、進度太慢。另外，研究生經過大學四年的學習，已經具備了一定的學習能力，在課堂上通過聽教師講解來學習新知的過程，在課下他們也可以自己完成。事實上，在研究生的學習過程中，應該注重更深層次的學習，如：拓展加深、遷移運用、探究創新等。而上述深層次的學習需要在教師與學生、學生與學生互動的過程中完成，需要教師的引領與點撥。

為了解決上述問題，筆者認為應將翻轉課堂教學模式引入到數值分析教學中，改革傳統的研究生教學方法。

三、“翻轉課堂”教學模式在《數值分析》教學中的應用

下面就最小二乘法的內容采用翻轉課堂教學模式進行說明。

1.將學習任務驅動放在網上，學生在課前可以看到，如課題：曲線擬合的最小二乘法；任務驅動：研究RC充放電直流暫態現象時電容器的電壓變化。

【工作實例】當電路通電瞬間或斷電瞬間，直流電路上的電壓或電流會有一個短暫的不穩定狀態，稱之為暫態。電容器具有儲存能量之特性，而儲存能量必須經過時間的累積，所以暫態現象在電容上更為明顯，一般稱電容的暫態現象為充電或放電，如圖1所示。暫態的時間通常都只有千分之幾秒而已，然而對電能的傳輸而言，已經算是很長的時間了，RC充放電現象在電子與電機控制工程均時常用到，故對于暫態現象的處理是不容忽視的。

電容器充放電所需要的時間與電路中電阻值與電容器電容值大小有關，因此定義RC充放電電路的時間常數為電阻器與電容器大小之乘積，符號為τ，單位為秒，數學公式為

τ=R×C………………………………………（1）

由上式得知，R或C值愈大，充放電過程所需的時間愈久，一般充放電完成，以時間5秒為基準。

RC充電時，電容電壓為

V■=E×（1-e■）………………………………（2）

RC放電時，電容電壓為

V■=E×e■……………………………………（3）

所以我們依照如圖1所示RC充放電電路圖，在本實驗中取電源電動勢E=12V、電阻R=100kΩ以及C=200μF，并依照充放電時間每隔5秒來實際測量電容電壓值，得到如表1所示之數據（略），穩態時實測電壓為11.51V。

問RC充放電直流暫態現象時電容器電壓隨時間 t如何變化？

在充電狀態時，電容電壓函數模型為

y=11.5+ae■.

在放電狀態時，電容電壓函數模型為

y=ae■.

為了解決任務驅動中的工作實例，需完成兩個學習任務——學習任務一：線性最小二乘法。學習任務二：非線性最小二乘法。

2.錄制微課（視頻）。微課（視頻）不僅要講授本節課的重點、難點，錄制視頻特別要注意一個知識點與另一個知識點之間的銜接，教師在錄制過程中要設計問題，注重知識點的引入，給出知識點在電氣工程專業課程中的一些應用等。通過設計問題引起學生的思考，從而培養學生通過思考、查詢資料的形式來提高自學能力以及創新思維。

下面就以《數值分析》課程第三章中曲線擬合的最小二乘法為例，初步探討基于課題式學習的視頻設計方案。

本次課的教學目標是掌握用最小二乘法對曲線進行擬合的方法，教學重點是最小二乘法的計算，教學難點是掌握用最小二乘法對曲線進行擬合的方法。

教師制作與主講內容相關的視頻，內容包括介紹一般的最小二乘法的相關概念、講解如何利用法方程求解、介紹基函數、基函數的內積等概念及正交多項式做最小二乘擬合、求解步驟，做到主題突出，內容簡要精練。教師提前一周將已做好的微視頻發布到教學平臺上，供學生在線或下載學習。

3.學生觀看教學視頻，自主探究學習。在教師的指導下，學生觀看教學視頻，了解并掌握最小二乘法的內容，做好記錄完成課前練習，檢測學生課前學習的效果。例如：

練習1：已知一組觀測數據如表所示，試用最小二乘法求一個多項式擬合這組數據。

練習2：已知一組實驗數據如下，求它的擬合曲線。

練習3：假設某電氣設備的使用年限t和所支出的維修費用Y（萬元）有如下的統計資料：

試預測當設備使用10年時要支出多少維修費用？

通過自主學習后，學生對最小二乘法有了一定的了解，教師給予相應的練習檢測學習成效。學生在課前通過觀看視頻，對簡單問題進行理解消化，復雜問題通過查閱資料或者與同學討論，如還不能解決，學生帶著問題在課堂上解決。

4.課堂教學——內化課堂知識，協作交流學習成果。教師根據最小二乘法的相關知識和學生觀看視頻、課下練習的實際情況，總結出具有探究意義的問題，例如：

問題一：最小二乘法與前面學過的函數的最佳平方逼近之間的關系？

問題二：寫出最小二乘法中的法方程，并與最佳平方逼近中的法方程比較。

問題三：已知數據

（xi，yi），i=1，L，m，

用于擬合這批數據的非線性模型為y=aebx.

（1）如何將該非線性模型線性化？

（2）寫出線性化模型中待定參數的法方程，并求解該方程。

（3）寫出非線性擬合函數。

問題四：用正交多項式做最小二乘擬合的優點是什么？

根據教師給出的問題，學生以學習小組為單位展開探討。針對最小二乘法中非線性模型線性化的這一問題，小組內用辯論、對話、討論等形式探究問題。學生在學習的同時，提高了與人溝通交流、協作互助的能力。

針對課前提出的任務驅動，利用課堂時間進行講解。如前面的任務驅動中，模型求解部分可以利用MATLAB求出任務驅動問題中的解。

通過此環節充分調動學生學習數值分析的主動性，促進學生的創造性思維，培養學生的創新能力。

四、結束語

翻轉課堂革新了傳統的教育理念和教學思想，它在一定程度上可以改變傳統教學模式的弊端。將翻轉課堂引入研究生數值分析課程的教學中，有利于對學生綜合素質的培養。通過組織學生合作解決實際問題，在解決問題的過程中采用翻轉課堂教學模式，利用教師錄制的視頻進行靈活、自主學習，達到培養學生自主學習的能力、團結協作的能力、解決實際問題的能力以及創新能力等綜合性能力的目的，從而讓他們更好地將數值分析知識應用到將來的研究工作中。

參考文獻：

[1]徐永貴，劉成新.翻轉課堂教學實踐探索研究[J].曲阜師范大學學報，2015，（1）.

[2]張金磊，王穎，張寶輝.翻轉課堂教學模式研究[J].遠程教育雜志，2012，（4）.

[3]何朝陽，歐玉芳，曹祁.美國大學翻轉課堂教學模式的啟示[J].高等工程教育研究，2014，（2）.

[4]朱宏杰，朱赟.翻轉課堂及其有效實施策略芻議[J].電化教育研究，2013，（8）.

[5]王鳳秋，玄琳琳.“翻轉課堂”與高校研究生教學模式改革[J].黑龍江高教研究，2017，（1）：153-155.

[6]張春蕊，鄭寶東.對理工院校研究生公共數學課程群建設的認識與實踐[J].教書育人，2010，（4）：87-90.

[7]高凌云.美國研究生教育中數學課程設置的啟示[J].高等理科教育，2010，（6）：66-68.

[8]劉三明.基于創新和應用能力的數值分析課程教學研究與實踐[J].大學教育，2016，（2）：130-131.

[9]李慶揚，王能超，易大義.數值分析[M].5版.北京：清華大學出版社，2010.