老師，8月到底是升還是降
——折線統計圖升降分析錯誤例談

浙江省象山縣丹城第四小學 金衛東

統計與概率是義務教育階段教學數學學習的四大內容之一，課程標準指出，學習統計要讓學生經歷簡單的收集、整理、描述和分析數據的過程，幫助學生逐漸建立起數據分析的觀念。在這個理念的指引下，老師在統計教學時，都能注重學生對統計圖表的分析描述，但對于該怎樣正確地描述統計圖表，尤其是對折線統計圖的描述分析，常常會產生一些習慣性的錯誤。

近日在聽《折線統計圖》一課中，又聽到了這樣的錯誤：

【教學片段】

教師從某城市的月平均氣溫條形統計圖引入，做簡單的介紹，告訴學生除了條形統計圖可以表示這座城市的每月平均氣溫外，我們還有一種新的統計圖可以更好地表示出每月平均氣溫的變化情況。課件演示把條形統計圖的每個條形演變成一個點，再把點逐個連接，演變成一幅折線統計圖（如圖1），帶領學生認識折線統計圖，并用手勢表示這幅折線統計圖的折線的起起落落，然后進入描述分析折線統計圖的環節。

師：從這幅折線統計圖，你能發現這座城市一年里氣溫變化的特點嗎？

生：我發現一年里氣溫最高的是8月份，最低的是1月份。

生：我發現氣溫開始是上升的，后來又降低了。

圖1

師：那么從幾月到幾月是上升的，從幾月到幾月是降低的呢？

生：氣溫從1月到8月是上升的，從8月到12月份是降低的。

從圖上看，先上升后下降的變化非常明顯，學生的回答也很符合老師內心所需，于是老師帶領全體學生觀察哪兩個月之間上升最快，哪兩個月之間降低最多。學生各抒己見，課堂內交流很積極，學生學得很高興，但有一個學生盯著大屏幕發愣，遲疑著想要舉手，又放下。老師發現了，于是問這名學生：“你有什么想說的嗎？”

這位學生站起來說：“我也不知道對不對，就是想問問，剛才老師你說1月到8月氣溫是上升的，而8月到12月氣溫又是下降的，那么這個8月份的氣溫到底是上升了還是下降了？”

下面聽課的老師一陣輕微的騷動，上課的老師明顯愣了愣。

師：……8月份，在1月份到8月份是呈上升趨勢的，……在下半年又是逐漸下降的……

明顯這個答案不能很好地給這位學生解惑，于是他又繼續追問：“那老師你說8月份到底是上升還是下降？在這個月里面是一會兒上升一會兒下降嗎？”

這個問題老師沒有很好的準備，打老師一個措手不及，于是老師說：“你這個問題提得很有價值，讓老師課后思考再回答你好嗎？現在先接著往下學?！?/p>

……

【錯誤分析】

課堂上的“驚險”被暫時存檔了。課后，我找來了這個學生和老師。

我問了這個提問的學生：你認為8月份的氣溫是上升了還是下降了？他說：我也不敢確定，氣溫上升還是下降不是跟原來的比嗎？比前一個月高就是上升，比前一個月低就是下降，可八月份有這么多天，我不能確定。

我又問老師，這位老師說：他的問題是我沒有想到的，我在教折線統計圖的變化趨勢時，一直是從哪里到哪里是上升，從哪里到哪里是下降的，中間的這個月是過渡的。

對于折線統計圖的描述分析，絕大多數老師都會像這位老師一樣去描述，好像這樣已是一種教學習慣。我剛開始教學時聽老教師上課就是這樣描述的，對于這個學生的疑惑我也一直存在。其實，老師在課堂上的描述是不恰當的，在這幅圖中，每個月的氣溫都是平均氣溫，一個數值就代表了這個月的整體情況，不存在“8月份有這么多天”的情況。從前半部分看是上升的，后半部分是下降的，8月份在連接的節點上，很容易讓人錯誤地表述為“從1月份到8月份是上升的，從8月份到12月份是下降的”。我非常同意這位學生對上升還是下降的判斷，符合本質，事物的升與降就應該是在原有（這題是前一個月的氣溫）的基礎上比較得來的，比原來的多就是上升了，比原來的少就是降低，不存在一會低一會高的含糊不清的描述。這題中，8月氣溫僅僅是一個點，根本就沒有過渡的說法。

【正確處理】

從圖中發現，8月份的氣溫比前一個月（七月）要高，8月份的氣溫是上升，到了9月份，氣溫比8月份要低，這樣9月份的氣溫是降低的。討論后認為描述應是：1月開始到八月份氣溫逐漸上升，八月份以后（或9月份）氣溫逐漸下降。這樣8月份就不會重復出現，也符合升降比較的本質。循著這個思路，那么1月份不是沒有比較嗎？1月份為什么說它是升呢？針對這個提問進行了思考，進一步完善，這個城市的月平均氣溫變化描述為：1月份后到8月份氣溫逐漸上升，八月份以后（或9月份）氣溫逐漸下降。

【反思原因】

一、對于比較變化的提問不夠嚴謹

一直以來，多數教師都會這樣描述變化趨勢，究其原因，除了單純的從折線看變化而沒有思考升降比較的本質外，還有一個原因是教師提問不夠嚴謹。在課堂中，老師提問：“從幾月到幾月是上升的，從幾月到幾月是降低？”“哪兩個月之間上升最快，哪兩個月之間降低最多？”很顯然，老師讓學生回答的就是月份與月份之間的話題，學生很容易循著老師的思路從圖上找答案。

圖2

在一次測試卷中就曾碰到：如圖2，張叔叔家從（ ）月到（ ）月用電量是上升的，從（ ）月到（ ）月用電量是下降的。處于最高點的四月到底是上升的還是下降的？學生的答案五花八門，有的把四月歸到上升的，也有的歸到下降的，更多的是把四月放到上升的后一括號，下降的前一括號，兩者兼而有之。造成這個折線統計圖中會經常碰到的問題，原因是出題老師沒有思考何為上升，何為下降，只把折線統計圖中的折線當成了圖片中的上坡、下坡，四月的用電量當成連接上下坡的山頂了。

在學校，我提出“8月這樣描述不當”的觀點時，開始曾遭到很多老師的反對，有老師認為“8月”猶如時鐘的“0時”，既是前面的結束，又是后面的開始，看著好像正確，但氣溫的上升變化還是下降變化是由比較得出的，不是簡單的連接，這樣的描述不符合比較本質。翻看現行教材與配套練習，已經很難看到上述提問方式了，正確的問題是“哪幾個月的氣溫是上升的？哪幾個月的氣溫是下降的？哪個月的氣溫上升得最快，哪個月的氣溫上升最慢？”這樣的表述就十分科學。

二、沒有區別時間段與時間點

時間的描述有兩種情況，一種是“一段時間”通俗用“小時”表述，一種是“某一點的時間”，通俗用“時”表述。雖然在多年前的小學教材中已統一表述為“時”，在課堂上不提“小時”了，但不可否認，一段時間與某點的時間是客觀存在的。在上面的教學片段中的氣溫是平均氣溫存在于各個月份中，已把各月份看成某點時間了，是一個整體，不再思考這個月的天數，就不存在“哪兩個月之間”的說法。比如折線統計圖中的7月份與8月份之間的連線就僅僅是視覺上的上升下降的連線，在兩個月份之間是不存在7.5月或7.6月的。經常碰到的“日期”“星期”“季度”“年份”，還有“第幾屆”也是某點的時間。如圖3，每兩天之間是不存在另外的星期幾的，提問哪兩天之間上升是不合理的。同樣，對于上升還是下降，A型水壺在星期二這天的銷售情況相比前一天就只能說是下降，不能錯誤地認為也是上升的。

圖3

當然，折線統計圖的學習中是有某段時間的變化的，這類題目在學習中也會經常碰到。如圖4，甲飛機在第25秒到第30秒是逐漸（ ）。在這題中，第25秒到30秒是一段時間，在第25秒與第30秒之間還有26秒、27秒……況且第25秒與第30秒雖然只有一秒，但它仍可作為某段的時間，在這一秒鐘內存在25.1秒、25.2秒、25.22秒……，所以提問飛機“從哪幾秒到哪幾秒”是上升的，是可行的。而第25秒同時作為時間的連接點出現，可以描述成前一段是下降，接著是上升。

數學是一門語言精煉、推理嚴謹的科學。課標指出，數學是對于客觀現象抽象概括而逐漸形成的科學語言與工具。小學數學的知識與運動是生活中不可或缺的一部分，同樣需要科學嚴謹的態度去對待。精確的數學語言背后往往隱含著一定的數學道理。多年教學形成的約定俗成的說法可能并不準確，敢于質疑，勤于思考，不僅僅是對學生提出的要求，也是教師提高教學業務的必要途徑。

圖4