多個(gè)子玻色-愛因斯坦凝聚氣體膨脹疊加形成的量子渦旋現(xiàn)象研究

董畢遠(yuǎn) 徐志君

(浙江工業(yè)大學(xué)應(yīng)用物理系,杭州 310023)

1 引 言

自1995年首次實(shí)現(xiàn)弱相互作用原子系統(tǒng)的玻色-愛因斯坦凝聚(Bose-Einstein condensation,BEC)[1?3]以來,有關(guān)BEC的研究發(fā)展迅速.1997年,BEC相干性獲得了驗(yàn)證[4],接著觀察到了一系列新現(xiàn)象,如約瑟夫森效應(yīng)[5,6]、渦旋[7?10]、超冷費(fèi)米原子氣體等[11,12].其中量子渦旋現(xiàn)象的研究引起了特別關(guān)注[13?19],比如渦旋與反渦旋形成的機(jī)制研究[20]、由渦旋引起的量子振蕩[21]現(xiàn)象的產(chǎn)生以及渦旋與渦旋相互作用[22]等已成為近期研究的熱點(diǎn).本文在Ruben和Paganin[23]基于Gross-Pitaevskii方程,運(yùn)用數(shù)值計(jì)算方法研究多個(gè)子BEC(many sub-BECs)在自由空間演化疊加形成的量子渦旋的基礎(chǔ)上,運(yùn)用傳播子理論,在一定近似條件下,用解析的方法研究了對稱分布的三個(gè)子BEC在弱磁阱中疊加形成的量子渦旋現(xiàn)象.將我們的研究方法運(yùn)用到自由空間,所得結(jié)論與Ruben和Paganin的數(shù)值模擬結(jié)果一致,表明本方法的可靠性.在諧振勢阱內(nèi),得到了一些新的現(xiàn)象,如量子渦旋核隨著時(shí)間演化產(chǎn)生振蕩,其振蕩頻率就是諧振勢的頻率,而且形成的渦旋與反渦旋的分布會(huì)隨時(shí)間演化而相互轉(zhuǎn)變.最后對所得到的新現(xiàn)象進(jìn)行了物理分析和討論.

2 物理模型

以二維模型為研究對象,也就是典型的碟形BEC系統(tǒng),即凝聚體橫向受到較弱的諧振勢作用,而軸向受到很強(qiáng)的囚禁勢束縛,從而使凝聚氣體軸向分量被凍結(jié)在基態(tài),形成典型的碟形BEC系統(tǒng).實(shí)驗(yàn)上將一定形狀和強(qiáng)度的激光束打到二維BEC上[24],可將BEC分割為多個(gè)子BEC,調(diào)節(jié)激光束的強(qiáng)度,還可改變各子BEC間的相位關(guān)系.然后關(guān)閉激光束,讓這些子BEC在諧振勢阱內(nèi)膨脹,觀察多個(gè)子BEC疊加所產(chǎn)生的量子渦旋現(xiàn)象.設(shè)諧振勢為

其中m為原子質(zhì)量,ω為徑向諧振頻率.

相比分割BEC的激光束強(qiáng)度,諧振勢是很弱的,因此,可忽略諧振勢對各子BEC初始分布的影響.若把分割激光束形成的勢能近似為簡諧勢,則初始各子BEC的分布可近似為高斯分布,即

關(guān)閉激光束后,多個(gè)子BEC開始在外加二維諧振勢阱中膨脹疊加,由于勢阱弱,子BEC膨脹時(shí),可忽略原子間的相互作用,因此,此后波函數(shù)隨時(shí)間的演化可近似用傳播子來描述.在二維諧振勢阱中的傳播子為

式中的i是虛數(shù)單位,則第j個(gè)子BEC隨時(shí)間演化的波函數(shù)為

設(shè)初始時(shí)刻t′=0,第j個(gè)子BEC波函數(shù)初相位為?j.將(2)和(3)式代入(4)式,并引入?yún)⒘喀?ω/ω′,直接積分可得第j個(gè)子BEC的宏觀含時(shí)波函數(shù)為

得到各子BEC隨時(shí)間演化的宏觀波函數(shù),就能進(jìn)一步研究相位渦旋形成的物理機(jī)制.

3 渦旋形成機(jī)制分析

為便于利用數(shù)值計(jì)算顯示渦旋的形成,將(5)式進(jìn)行無量綱化,做如下變換:

即t用ω?1做單位,|r|用a0做單位,并將ψ用進(jìn)行歸一化.于是帶波浪線的變量為無量綱變量,方程(5)可簡化為

有了方程(7),就可解析地研究各子BEC膨脹疊加形成渦旋的物理機(jī)制.為便于深入分析和計(jì)算,考慮對稱分布的三個(gè)子BEC的疊加情況.即有

取三個(gè)子BEC的初始位置為(0,0),(2,0),(1,1.73),即初始為正三角分布,如圖1所示.

圖1 三個(gè)子BEC初始分布情形Fig.1.Three initial distribution of the sub-Bose condensed gas.

不失一般性,設(shè)初相位均為零,取σ=20,可將由方程(8)得到的BEC密度和相位隨時(shí)間的演化用圖2顯示出來.圖中灰度值越小,對應(yīng)氣體密度越大;而相位圖中從亮到暗對應(yīng)相位取值從π變化到?π,在相位圖中圍繞某一點(diǎn)順時(shí)針或逆時(shí)針繞行一周,相位取值從π逐步變化到?π,那么此點(diǎn)便是渦旋核的位置,對應(yīng)密度圖中密度等于零的位置,比如圖2(b)中的A點(diǎn).

圖2 BEC密度和相位隨時(shí)間的演化 從(a)—(f)相應(yīng)的演化時(shí)間為0.25π,0.5π,0.75π,π,1.25π,1.5πFig.2.The time evolution of the BEC density and phase diagram:the evolution time from(a)to(f)is 0.25π,0.5π,0.75π,π,1.25π,1.5π.

圖2表明,形成的量子渦旋核呈六邊形蜂窩形分布,其渦旋核位置隨時(shí)間周期性振蕩,振蕩頻率恰好為諧振勢阱的頻率.當(dāng)?t=0.5π(四分之一周期),渦旋核分布在距初始點(diǎn)距離極大值處(圖2(b)),之后三個(gè)子BEC收縮到與初始分布對稱的位置,即位于(0,0),(?2,0),(?1,?1.73)處,完成半個(gè)周期振蕩(?t=π,圖2(d));后半個(gè)周期重復(fù)前半個(gè)周期的振蕩,三個(gè)子BEC最終會(huì)回到初始(0,0),(2,0),(1,1.73)(圖1),完成一個(gè)周期振蕩.從密度圖分析,(圖2(c))與(圖2(e))時(shí)刻,(圖2(b))和(圖2(f))時(shí)刻,渦旋核位置分布情況沒有區(qū)別,但從相位圖看,兩者對應(yīng)的渦旋方向相反(詳見圖3),因此,前后半個(gè)周期,演化情況并不相同.為進(jìn)一步分析渦旋形成的特點(diǎn),由方程(8)可以求得體系的粒子流密度

不妨將(7)式中振幅因子與相位因子分開,改寫為

其中

這樣粒子流密度可以表示為

定義粒子流速度

發(fā)現(xiàn)有

即標(biāo)量場梯度的旋度為零.定義一個(gè)環(huán)流量

由無旋性質(zhì)可知K值與路徑的選擇無關(guān).由波函數(shù)的周期性邊界條件可知

當(dāng)l=0時(shí),沒有渦旋,l=0有渦旋.即三個(gè)子BEC的相圖矢量形成閉合三角形時(shí),就會(huì)有渦旋產(chǎn)生.將l＞0形成的渦旋記為正渦旋,l＜0形成的渦旋記為反渦旋.由(15)式可以判斷渦旋是否形成.

圖3 密度與粒子流密度疊加圖(a)=0.5π;(b)=1.5πFig.3.Density function and particle flow density diagram:(a)=0.5π;(b)=1.5π.

本文討論的相位渦旋形成是基于三個(gè)不同子BEC(即相當(dāng)于三個(gè)存在一定相位關(guān)系的物質(zhì)波波源)的膨脹疊加,當(dāng)它們間的相位滿足一定條件時(shí)便能形成渦旋核.因此,這與通過對BEC旋轉(zhuǎn)等方式產(chǎn)生的渦旋機(jī)制不同.對超流系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)是否形成渦旋,可通過計(jì)算超流體系環(huán)流量來判定.對相位渦旋的形成,本文引入粒子流密度,類似地借助定義環(huán)流量的概念,利用波函數(shù)的周期性邊界條件得到判定渦旋存在的(15)式.這與超流渦旋形成判定條件的數(shù)學(xué)依據(jù)是一樣的,只不過本文體現(xiàn)在三個(gè)子BEC相位疊加為2π的整數(shù)倍,而超流則體現(xiàn)在體系環(huán)路積分對應(yīng)的相位角變化量為2π的整數(shù)倍.從數(shù)學(xué)角度來看,兩者是等價(jià)的.

與(16)式相比,即形成與其對應(yīng)的反渦旋.因此,當(dāng)演化時(shí)間滿足關(guān)系時(shí),渦旋核位置相同,而對應(yīng)的渦旋演變成反渦旋.

4 渦旋核的振蕩分析

接下來解釋渦旋核分布振蕩的現(xiàn)象. 針對三個(gè)子BEC初始位置以正三角形分布于(0,0),(2,0),(1,1.73)處,并設(shè)三個(gè)子BEC初始相位相同,波函數(shù)振幅相同.振幅項(xiàng)中因?yàn)槿齻€(gè)子BEC擴(kuò)散的時(shí)間相同,所以變量應(yīng)該取相同值;BEC在相對其最大擴(kuò)散極限的諧振子內(nèi)擴(kuò)散時(shí),近似有因此,可以認(rèn)為(10)式振幅項(xiàng)中的指數(shù)項(xiàng)差別可以考慮不計(jì).利用上面推導(dǎo)渦旋形成條件(15)式可以寫出渦旋核滿足的方程式為

圖4 BEC分布及疊加示意圖 (a)各子BEC中心位置及演化時(shí)空坐標(biāo);(b)振幅矢量疊加示意圖Fig.4.The diagram of BEC distributed and superimposed:(a)The center position of each sub-BEC and the evolutionary of space-time coordinates;(b)the diagram of superimposed of amplitude vector.

其中m和n均是整數(shù).在確定m,n后可以改寫

將(20)和(19)式相比可得如下關(guān)系式:

將(22)式代入(20)式,可以得到

在給定如下參數(shù)的情形下,即取初始位置為(0,0),(2,0),(0,1.73),θ3=π/3,不考慮初相位,且n=m=0(即l=1情形的渦旋核),可以給出渦旋核隨時(shí)間演化的分布圖像,如圖5所示.

因?yàn)榭紤]到圖5是所有l(wèi)=1情形的渦旋核隨時(shí)間演化的分布圖像,故不考慮圖中振幅大小的意義,而是考慮核振蕩的周期與諧振勢的振蕩周期之間的關(guān)系.結(jié)果可以看到渦旋核的振蕩,考慮到渦旋旋轉(zhuǎn)的方向,其核振蕩的周期與諧振勢的振蕩周期是相同的.

取相同初始條件,可以給出n=m=?1(即l=?1情形的渦旋核),渦旋核隨時(shí)間演化的分布圖像,如圖6所示.

通過對比圖5(b)和圖6(b)可以發(fā)現(xiàn)有一個(gè)偏移量,這個(gè)偏移量的大小就是六邊格子分布的渦旋與鄰近反渦旋間的距離.

圖5 渦旋核隨時(shí)間的變化 (a)(x-y-t)視圖;(b)(x-y-0)視圖;(c)(0-y-t)視圖;(d)(x-0-t)視圖Fig.5.Diagram of vortex core with time:(a)(x-y-t)view;(b)(x-y-0)view;(c)(0-y-t)view;(d)(x-0-t)view.

圖6 渦旋核隨時(shí)間的變化 (a)(x-y-t)視圖;(b)(x-y-0)視圖;(c)(0-y-t)視圖;(d)(x-0-t)視圖Fig.6.Diagram of vortex core with time:(a)(x-y-t)view;(b)(x-y-0)view;(c)(0-y-t)view;(d)(x-0-t)view.

圖7 密度與粒子流密度疊加圖 (a)—(f)相應(yīng)的演化時(shí)間為0.2π,0.4π,0.6π,0.8π,π,1.2πFig.7.Density function and particle fl ow density diagram:the evolution time from(a)to(f)is:0.2π,0.4π,0.6π,0.8π,π,1.2π.

通過一系列其他時(shí)刻的粒子流密度矢量圖(如圖7所示)來分析渦旋核位置隨時(shí)間的演化.在圖7中跟蹤兩個(gè)渦旋核,標(biāo)記B點(diǎn)是順時(shí)針渦旋核,C點(diǎn)是逆時(shí)針渦旋核.通過觀察圖7(a)—(d)中B點(diǎn)渦旋核的運(yùn)動(dòng)軌跡,可以得到與圖5中時(shí)間取0到π的軌跡是一致的,振幅大小不同是為了得到(18)式,將振幅項(xiàng)做了近似導(dǎo)致的.從圖7(f)可以得到B點(diǎn)的渦旋方向變成逆時(shí)針,而C點(diǎn)的渦旋方向變成順時(shí)針,這滿足前面推導(dǎo)的渦旋反渦旋轉(zhuǎn)化規(guī)律.渦旋核運(yùn)動(dòng)軌跡還是沿著原路徑直線返回,從而形成一個(gè)周期振蕩.這與圖5中時(shí)間取π到2π的軌跡一致,但是方向相反,其中方向相反可以由初始位置的改變得到解釋.當(dāng)時(shí)間從π開始取時(shí),三子BEC初始位置變化為原點(diǎn)對稱處,即代入(22)式θmn不變,而代入(23)式有故與圖5中時(shí)間取π到2π的軌跡一致,方向相反.

5 結(jié) 論

基于當(dāng)前實(shí)驗(yàn)普遍采用的二維模型,構(gòu)建多個(gè)子BEC在二維空間膨脹疊加的物理模型,在諧振近似下,以高斯分布來構(gòu)造子BEC初始波函數(shù),然后用傳播子方法解析求解出波函數(shù)在弱諧振勢阱中隨時(shí)間的演化.本文著重研究了對稱分布的三個(gè)子BEC膨脹疊加形成渦旋的情況,得到子BEC融合形成的渦旋隨時(shí)間演化的規(guī)律.渦旋核分布隨著子BEC在諧振勢阱內(nèi)膨脹而出現(xiàn)振蕩,其振蕩頻率與諧振勢的頻率相同;同時(shí),還出現(xiàn)渦旋與反渦旋對,在演化的同一時(shí)刻,近鄰渦旋方向總是相反的,而不同演化時(shí)刻,渦旋方向也會(huì)出現(xiàn)轉(zhuǎn)化,特別是演化時(shí)間滿足?t′=2π??t關(guān)系時(shí),渦旋核位置相同,而對應(yīng)的渦旋旋轉(zhuǎn)方向相反.對這一現(xiàn)象,從量子渦旋的基本規(guī)律出發(fā)進(jìn)行了解釋和探討.特別是引入粒子流密度,采用類似超流渦旋的思想,計(jì)算了環(huán)量,分析了渦旋形成的機(jī)制.應(yīng)用本文的研究思路和方法,可方便推廣到多于三個(gè)子BEC疊加形成渦旋機(jī)制的研究,也可討論各子BEC有不同初始相位差時(shí)對渦旋的影響等,均可得到一些有意義的結(jié)果.這一模型在實(shí)驗(yàn)上也比較容易實(shí)現(xiàn).因此,本文的研究對實(shí)驗(yàn)工作也有啟示意義.

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