多個子玻色-愛因斯坦凝聚氣體膨脹疊加形成的量子渦旋現象研究

董畢遠 徐志君

(浙江工業大學應用物理系,杭州 310023)

1 引 言

自1995年首次實現弱相互作用原子系統的玻色-愛因斯坦凝聚(Bose-Einstein condensation,BEC)[1?3]以來,有關BEC的研究發展迅速.1997年,BEC相干性獲得了驗證[4],接著觀察到了一系列新現象,如約瑟夫森效應[5,6]、渦旋[7?10]、超冷費米原子氣體等[11,12].其中量子渦旋現象的研究引起了特別關注[13?19],比如渦旋與反渦旋形成的機制研究[20]、由渦旋引起的量子振蕩[21]現象的產生以及渦旋與渦旋相互作用[22]等已成為近期研究的熱點.本文在Ruben和Paganin[23]基于Gross-Pitaevskii方程,運用數值計算方法研究多個子BEC(many sub-BECs)在自由空間演化疊加形成的量子渦旋的基礎上,運用傳播子理論,在一定近似條件下,用解析的方法研究了對稱分布的三個子BEC在弱磁阱中疊加形成的量子渦旋現象.將我們的研究方法運用到自由空間,所得結論與Ruben和Paganin的數值模擬結果一致,表明本方法的可靠性.在諧振勢阱內,得到了一些新的現象,如量子渦旋核隨著時間演化產生振蕩,其振蕩頻率就是諧振勢的頻率,而且形成的渦旋與反渦旋的分布會隨時間演化而相互轉變.最后對所得到的新現象進行了物理分析和討論.

2 物理模型

以二維模型為研究對象,也就是典型的碟形BEC系統,即凝聚體橫向受到較弱的諧振勢作用,而軸向受到很強的囚禁勢束縛,從而使凝聚氣體軸向分量被凍結在基態,形成典型的碟形BEC系統.實驗上將一定形狀和強度的激光束打到二維BEC上[24],可將BEC分割為多個子BEC,調節激光束的強度,還可改變各子BEC間的相位關系.然后關閉激光束,讓這些子BEC在諧振勢阱內膨脹,觀察多個子BEC疊加所產生的量子渦旋現象.設諧振勢為

其中m為原子質量,ω為徑向諧振頻率.

相比分割BEC的激光束強度,諧振勢是很弱的,因此,可忽略諧振勢對各子BEC初始分布的影響.若把分割激光束形成的勢能近似為簡諧勢,則初始各子BEC的分布可近似為高斯分布,即

關閉激光束后,多個子BEC開始在外加二維諧振勢阱中膨脹疊加,由于勢阱弱,子BEC膨脹時,可忽略原子間的相互作用,因此,此后波函數隨時間的演化可近似用傳播子來描述.在二維諧振勢阱中的傳播子為

式中的i是虛數單位,則第j個子BEC隨時間演化的波函數為

設初始時刻t′=0,第j個子BEC波函數初相位為?j.將(2)和(3)式代入(4)式,并引入參量σ=ω/ω′,直接積分可得第j個子BEC的宏觀含時波函數為

得到各子BEC隨時間演化的宏觀波函數,就能進一步研究相位渦旋形成的物理機制.

3 渦旋形成機制分析

為便于利用數值計算顯示渦旋的形成,將(5)式進行無量綱化,做如下變換:

即t用ω?1做單位,|r|用a0做單位,并將ψ用進行歸一化.于是帶波浪線的變量為無量綱變量,方程(5)可簡化為

有了方程(7),就可解析地研究各子BEC膨脹疊加形成渦旋的物理機制.為便于深入分析和計算,考慮對稱分布的三個子BEC的疊加情況.即有

取三個子BEC的初始位置為(0,0),(2,0),(1,1.73),即初始為正三角分布,如圖1所示.

圖1 三個子BEC初始分布情形Fig.1.Three initial distribution of the sub-Bose condensed gas.

不失一般性,設初相位均為零,取σ=20,可將由方程(8)得到的BEC密度和相位隨時間的演化用圖2顯示出來.圖中灰度值越小,對應氣體密度越大;而相位圖中從亮到暗對應相位取值從π變化到?π,在相位圖中圍繞某一點順時針或逆時針繞行一周,相位取值從π逐步變化到?π,那么此點便是渦旋核的位置,對應密度圖中密度等于零的位置,比如圖2(b)中的A點.

圖2 BEC密度和相位隨時間的演化 從(a)—(f)相應的演化時間為0.25π,0.5π,0.75π,π,1.25π,1.5πFig.2.The time evolution of the BEC density and phase diagram:the evolution time from(a)to(f)is 0.25π,0.5π,0.75π,π,1.25π,1.5π.

圖2表明,形成的量子渦旋核呈六邊形蜂窩形分布,其渦旋核位置隨時間周期性振蕩,振蕩頻率恰好為諧振勢阱的頻率.當?t=0.5π(四分之一周期),渦旋核分布在距初始點距離極大值處(圖2(b)),之后三個子BEC收縮到與初始分布對稱的位置,即位于(0,0),(?2,0),(?1,?1.73)處,完成半個周期振蕩(?t=π,圖2(d));后半個周期重復前半個周期的振蕩,三個子BEC最終會回到初始(0,0),(2,0),(1,1.73)(圖1),完成一個周期振蕩.從密度圖分析,(圖2(c))與(圖2(e))時刻,(圖2(b))和(圖2(f))時刻,渦旋核位置分布情況沒有區別,但從相位圖看,兩者對應的渦旋方向相反(詳見圖3),因此,前后半個周期,演化情況并不相同.為進一步分析渦旋形成的特點,由方程(8)可以求得體系的粒子流密度

不妨將(7)式中振幅因子與相位因子分開,改寫為

其中

這樣粒子流密度可以表示為

定義粒子流速度

發現有

即標量場梯度的旋度為零.定義一個環流量

由無旋性質可知K值與路徑的選擇無關.由波函數的周期性邊界條件可知

當l=0時,沒有渦旋,l=0有渦旋.即三個子BEC的相圖矢量形成閉合三角形時,就會有渦旋產生.將l＞0形成的渦旋記為正渦旋,l＜0形成的渦旋記為反渦旋.由(15)式可以判斷渦旋是否形成.

圖3 密度與粒子流密度疊加圖(a)=0.5π;(b)=1.5πFig.3.Density function and particle flow density diagram:(a)=0.5π;(b)=1.5π.

本文討論的相位渦旋形成是基于三個不同子BEC(即相當于三個存在一定相位關系的物質波波源)的膨脹疊加,當它們間的相位滿足一定條件時便能形成渦旋核.因此,這與通過對BEC旋轉等方式產生的渦旋機制不同.對超流系統旋轉是否形成渦旋,可通過計算超流體系環流量來判定.對相位渦旋的形成,本文引入粒子流密度,類似地借助定義環流量的概念,利用波函數的周期性邊界條件得到判定渦旋存在的(15)式.這與超流渦旋形成判定條件的數學依據是一樣的,只不過本文體現在三個子BEC相位疊加為2π的整數倍,而超流則體現在體系環路積分對應的相位角變化量為2π的整數倍.從數學角度來看,兩者是等價的.

與(16)式相比,即形成與其對應的反渦旋.因此,當演化時間滿足關系時,渦旋核位置相同,而對應的渦旋演變成反渦旋.

4 渦旋核的振蕩分析

接下來解釋渦旋核分布振蕩的現象. 針對三個子BEC初始位置以正三角形分布于(0,0),(2,0),(1,1.73)處,并設三個子BEC初始相位相同,波函數振幅相同.振幅項中因為三個子BEC擴散的時間相同,所以變量應該取相同值;BEC在相對其最大擴散極限的諧振子內擴散時,近似有因此,可以認為(10)式振幅項中的指數項差別可以考慮不計.利用上面推導渦旋形成條件(15)式可以寫出渦旋核滿足的方程式為

圖4 BEC分布及疊加示意圖 (a)各子BEC中心位置及演化時空坐標;(b)振幅矢量疊加示意圖Fig.4.The diagram of BEC distributed and superimposed:(a)The center position of each sub-BEC and the evolutionary of space-time coordinates;(b)the diagram of superimposed of amplitude vector.

其中m和n均是整數.在確定m,n后可以改寫

將(20)和(19)式相比可得如下關系式:

將(22)式代入(20)式,可以得到

在給定如下參數的情形下,即取初始位置為(0,0),(2,0),(0,1.73),θ3=π/3,不考慮初相位,且n=m=0(即l=1情形的渦旋核),可以給出渦旋核隨時間演化的分布圖像,如圖5所示.

因為考慮到圖5是所有l=1情形的渦旋核隨時間演化的分布圖像,故不考慮圖中振幅大小的意義,而是考慮核振蕩的周期與諧振勢的振蕩周期之間的關系.結果可以看到渦旋核的振蕩,考慮到渦旋旋轉的方向,其核振蕩的周期與諧振勢的振蕩周期是相同的.

取相同初始條件,可以給出n=m=?1(即l=?1情形的渦旋核),渦旋核隨時間演化的分布圖像,如圖6所示.

通過對比圖5(b)和圖6(b)可以發現有一個偏移量,這個偏移量的大小就是六邊格子分布的渦旋與鄰近反渦旋間的距離.

圖5 渦旋核隨時間的變化 (a)(x-y-t)視圖;(b)(x-y-0)視圖;(c)(0-y-t)視圖;(d)(x-0-t)視圖Fig.5.Diagram of vortex core with time:(a)(x-y-t)view;(b)(x-y-0)view;(c)(0-y-t)view;(d)(x-0-t)view.

圖6 渦旋核隨時間的變化 (a)(x-y-t)視圖;(b)(x-y-0)視圖;(c)(0-y-t)視圖;(d)(x-0-t)視圖Fig.6.Diagram of vortex core with time:(a)(x-y-t)view;(b)(x-y-0)view;(c)(0-y-t)view;(d)(x-0-t)view.

圖7 密度與粒子流密度疊加圖 (a)—(f)相應的演化時間為0.2π,0.4π,0.6π,0.8π,π,1.2πFig.7.Density function and particle fl ow density diagram:the evolution time from(a)to(f)is:0.2π,0.4π,0.6π,0.8π,π,1.2π.

通過一系列其他時刻的粒子流密度矢量圖(如圖7所示)來分析渦旋核位置隨時間的演化.在圖7中跟蹤兩個渦旋核,標記B點是順時針渦旋核,C點是逆時針渦旋核.通過觀察圖7(a)—(d)中B點渦旋核的運動軌跡,可以得到與圖5中時間取0到π的軌跡是一致的,振幅大小不同是為了得到(18)式,將振幅項做了近似導致的.從圖7(f)可以得到B點的渦旋方向變成逆時針,而C點的渦旋方向變成順時針,這滿足前面推導的渦旋反渦旋轉化規律.渦旋核運動軌跡還是沿著原路徑直線返回,從而形成一個周期振蕩.這與圖5中時間取π到2π的軌跡一致,但是方向相反,其中方向相反可以由初始位置的改變得到解釋.當時間從π開始取時,三子BEC初始位置變化為原點對稱處,即代入(22)式θmn不變,而代入(23)式有故與圖5中時間取π到2π的軌跡一致,方向相反.

5 結 論

基于當前實驗普遍采用的二維模型,構建多個子BEC在二維空間膨脹疊加的物理模型,在諧振近似下,以高斯分布來構造子BEC初始波函數,然后用傳播子方法解析求解出波函數在弱諧振勢阱中隨時間的演化.本文著重研究了對稱分布的三個子BEC膨脹疊加形成渦旋的情況,得到子BEC融合形成的渦旋隨時間演化的規律.渦旋核分布隨著子BEC在諧振勢阱內膨脹而出現振蕩,其振蕩頻率與諧振勢的頻率相同;同時,還出現渦旋與反渦旋對,在演化的同一時刻,近鄰渦旋方向總是相反的,而不同演化時刻,渦旋方向也會出現轉化,特別是演化時間滿足?t′=2π??t關系時,渦旋核位置相同,而對應的渦旋旋轉方向相反.對這一現象,從量子渦旋的基本規律出發進行了解釋和探討.特別是引入粒子流密度,采用類似超流渦旋的思想,計算了環量,分析了渦旋形成的機制.應用本文的研究思路和方法,可方便推廣到多于三個子BEC疊加形成渦旋機制的研究,也可討論各子BEC有不同初始相位差時對渦旋的影響等,均可得到一些有意義的結果.這一模型在實驗上也比較容易實現.因此,本文的研究對實驗工作也有啟示意義.

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