判定多元橢球面的充要條件及橢球體的體積算法

楊波

【摘要】假定n元二次曲面是判定多元橢球的充要條件，也是計算與之相對應的n維橢球體積的公式，那么在推導判定條件和體積計算時，只需要用曲面系數行列式，這樣處理，判定橢球面和計算橢球體積更簡易.

【關鍵詞】二次曲面；歐拉函數；橢球體積

一、問題提出

根據解析幾何可知二次曲線在2維坐標系上顯示的圖形為封閉圖形的只有橢圓，由此可推導出二次曲面在3維坐標系上顯示的橢球面也是封閉圖形.本文要討論的是多元二次曲面是否是判定橢球面的充要條件，此外，還將探討與其相對應的n維橢球體的體積的計算方法，為了證實用二次曲面的系數行列式是否能讓判定與計算更為簡捷，特做此研究.

二、定 理

設x=（x1，…，xn）T∈Rn，A=（aij）∈Rn×n，b=（b1，…，bn）T∈Rn，c∈R，那么，n元二次曲面方程為f（x）=xTAx+2bTx+c=0，方程中的A，即為對稱矩陣，也就是這個二次曲面的二次項系數矩陣.

如果記A～=cbTbA，那么f（x）表示就可以相對簡化，即可以表示為f（x）=（1 αT）A～（1 αT）T，A～則為這個二次曲面的系數矩陣.

定理1 有n維球面可表示為x21+x22+x23+…+x2n=r2，這個球面圍成的球體的體積是V=πn2rnΓn2+1，公式中的Γn2+1是歐拉函數.

定理2 n維的橢球面可表示為λ1x21+λ2x22+…+λnx2n=r（r，λi>0），這個橢球面圍成的橢球體的體積可以用定理1推導，即為V=πn2Γn2+1·rnλ1λ2…λn.

證明 如果D可逆，就有detABCD=detD·det（A-BD-1C）.

如果A是實對稱矩陣，那么也就有正交矩陣P=（p1，p2，…，pn），能讓PTAP=diag（λ1，λ2，…，λn），此式中的pi是實對稱矩陣關于特征值λi的向量.

三、判定橢球面的充要條件

A為定性矩陣，同時它的定性與detA～detA符號相反，n元的二次曲面f（x）=xTAx+2bTx+c=0就能表示橢球表面，而此橢球的體積為

V=ππ2Γn2+1·|detA～|n|detA|n+1.

前面已經提到A為實對稱矩陣，則會有正交矩陣P=（p1，p2，…，pn），可讓

PTAP=diag（λ1λ2，…，λn），做正交變換x=Py，那么

f（x）=xTAx+2bT+c=（Py）TA（Py）+2bT（Py）+c

=yTdiag（λ1，…，λn）y+2bT（p1，p2，…，pn）y+c

=∑ni=1λiy2i+2∑ni=1bTpiyi+c

=∑λiyi+bTpiλi2+c-∑i=1（bTpi）2λi.

由detA～=detcbTbA=detA·det[c-（bTA-1）]

=detA[c-（bTA-1b）]

=detAc-∑ni=1（bTpi）2λi，

∴f（x）=xTAx+2bTx+c=∑ni=1λiyi+bTpiλi2+detA～detA.

A為定性矩陣，當它的定性與detA～detA符號相反，那么λi同號，則與detA～detA異號.

由此得∑ni=1λiyi+bTpiλi2+detA～detA=0，由定理2知此橢球面所圍的n維橢球體的體積為

V=ππ2Γn2+1·-detA～detAnλ1λ2…λn.

由detA=λ1λ2…λn，則有

V=ππ2Γn2+1·-detA～detAdetA

=πn2Γn2+1·|detA～||detA|n+12.

由x=Py為正交變換，那么f（x）=xTAx+2bTx+c=0也能表示n維橢球面，此橢球的體積計算公式為

V=πn2Γn2+1·|detA～||detA|n+1.

【參考文獻】

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