由一類級數問題拓展得收斂定理

熊擇正 胡瓊

【摘要】在現行的高等數學教材中，對級數斂散性判別的介紹主要集中在有具體表達式、遞推關系或不等式關系的級數中，而對已知性質較少的抽象級數研究甚少.本文將通過一個具體例子來引出一類抽象級數斂散性判別的定理，希望能為相關問題的研究提供可借鑒的方法與思想.

【關鍵詞】抽象級數；斂散性；函數

一、問題的提出

在文獻中常出現類似這樣的一個級數問題，即在正項級數∑nan收斂的條件下，∑nann+pn（p∈N+）是否收斂.在流行的高等數學教材中所介紹的半徑判斂法等普通方法無法處理這類抽象級數的問題，而要應用比較判斂法也很難找到合適的級數與之進行比較，下面我們引入一個定理，再解決此類問題.

二、定理及其證明

定理 若f（n）為關于n的任意一恒正函數，并滿足 limn→+∞f（n）1-f（n）→+∞，那么對于任意正項收斂級數∑nan，必有∑naf（n）n收斂.

證明

由于關于an的已知條件只有an>0以及∑nan收斂，那么自然想到用集合的方法進行處理.現設集合

M={n|n滿足an，f（n）1，K∈Z}.

若n∈M，則∑naf（n）n顯然收斂.

以下研究nM的情況：

若nM，則有af（n）n≥Kan，

即有|f（n）|<1，且an≤K1-f（n），

亦即af（n）n≤K-f（n）1-f（n）.

而根據假設，有

limn→+∞f（n）1-f（n）→+∞，

亦即

∑nMK-f（n）1-f（n）

收斂，所以

∑nMaf（n）n

收斂，兩部分合二為一即得

∑naf（n）n

收斂.

若f（n）≥1，則∑naf（n）n顯然收斂.

證畢.

三、結 論

根據上述判別定理，第一部分中提到的問題屬于f（n）=nn+p（p∈N+）時的特殊情況，顯然迎刃而解：由于 limn→+∞nn+p1-nn+p→+∞，因此，級數∑nann+pn（p∈N+）收斂.這里我們再提出一個類似的定理：若limn→0an=0，∑nan發散，且f（n）為滿足 limn→+∞f（n）1-f（n）→+∞和f（n）>1的任意函數，則∑naf（n）n也一定發散.證明方法和第二部分中定理的證明非常類似，感興趣的讀者可以進一步證明該定理.

由于本文中證明的定理對an和f（n）都沒有具體形式的要求，因此，該定理的適用范圍較廣.我們希望通過這兩個定理的引入，為相關級數問題的研究提供新的視角與方法.

【參考文獻】

[1]同濟大學數學系.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2007.