基于Lagrange乘數法的幾何最值研究

許震宇

【摘要】求空間定點、曲線或曲面間距離的最大值或最小值，這一類問題通常稱為幾何最值問題.數學競賽或考研試題中的幾何最值問題，利用初等方法或求解轉化為無條件極值問題求解需要很強的技巧，而利用Lagrange乘數法則可得出一般性結論.

【關鍵詞】Lagrange乘數法；幾何最值問題

在考慮函數的極值或最值問題時，經常需要對函數的自變量附加一定的條件.比如：

例1 （全國碩士研究生入學考試，1994）求橢圓x2+4y2=4上的點到直線2x+3y-6=0的最小距離和最大距離.

例2 （華東師范大學考研試題，1994）求拋物線y=x2上一點到定點Q-118，-58的最短距離.

例1是在約束條件x2+4y2=4下，求函數f（x，y）=|2x+3y-6|22+32的最大值和最小值；例2是在約束條件y=x2下，求函數f（x，y）=x+1182+y+582的最小值.這就是所謂的條件極值問題，而Lagrange乘數法就是解決條件極值問題的一個有效的工具.

一、Lagrange乘數法

以二元函數為例，設目標函數z=f（x，y）和約束條件φ（x，y）=0.為尋找目標函數在約束條件下的極值點，先作Lagrange函數L（x，y，λ）=f（x，y）+λφ（x，y），其中參數λ為Lagrange乘子.再令L（x，y，λ）對x，y和λ的一階偏導數等于零，即Lx′=fx′（x，y）+λφx′（x，y）=0，Ly′=fy′（x，y）+λφy′（x，y）=0，Lλ′=φ（x，y）=0. 該方程組的所有解（x0，y0，λ0）所對應的點（x0，y0），就是目標函數z=f（x，y）在約束條件φ（x，y）=0下的可能極值點.若可能極值點唯一，且根據實際問題最值一定存在，則可直接確定可能極值點即為最值點.一般地，Lagrange乘數法的目標函數為F（x1，x2，…，xn），約束條件為Φi（x1，x2，…，xn）=0（i=1，2，…，m且m

二、幾個結論

命題1 設平面曲線C：f（x，y）=0（f存在一階連續偏導數）和平面直線l：Ax+By+C=0（A2+B2≠0）無公共點，若點P（x，y）是曲線C上到直線l的最值點，則有fx′（x，y）A=fy′（x，y）B.

證明 曲線C上點P（x，y）到直線l的距離d=|Ax+By+C|A2+B2.因d非負，故可考慮d2=（Ax+By+C）2A2+B2.先作Lagrange函數L（x，y，λ）=（Ax+By+C）2A2+B2+λ·f（x，y），再令Lx′=Ly′=0，

即A·2（Ax+By+C）A2+B2+fx′（x，y）·λ=0，B·2（Ax+By+C）A2+B2+fy′（x，y）·λ=0.

∵C與l無公共點，∴Ax+By+C≠0.該方程組存在非零解2（Ax+By+C）A2+B2，λ，故系數行列式為零，即fx′（x，y）A=fy′（x，y）B，命題1成立.

命題1的幾何意義是曲線C在P（x，y）處的法向量{fx′（x，y），fy′（x，y）}與直線l的法向量{A，B}共線.

推論1 設空間曲面Σ：F（x，y，z）=0（F存在一階連續偏導數）和空間平面π：Ax+By+Cz+D=0（A2+B2+C2≠0）無公共點，若點P（x，y，z）是曲線Σ上到平面π的最值點，則有Fx′（x，y，z）A=Fy′（x，y，z）B=Fz′（x，y，z）C.

推論1的幾何意義是曲面Σ在P（x，y，z）處的法向量{Fx′（x，y，z），Fy′（x，y，z），Fz′（x，y，z）}與平面π的法向量{A，B，C}共線.

命題2 設平面內一定點Q（a，b）不屬于平面曲線C：f（x，y）=0（f存在一階連續偏導數）.若點P（x，y）是曲線C上到定點Q的最值點，則有fx′（x，y）x-a=fy′（x，y）y-b.

證明 曲線C上點P（x，y）到定點Q的距離d=（x-a）2+（y-b）2.因d非負，故考慮d2=（x-a）2+（y-b）2.作Lagrange函數L（x，y，λ）=（x-a）2+（y-b）2+λ·f（x，y），

令Lx′=Ly′=0，即（x-a）·2+fx′（x，y）·λ=0，（y-b）·2+fy′（x，y）·λ=0.

該方程組存在非零解（2，λ），故fx′（x，y）x-a=fy′（x，y）y-b，命題2成立.

命題2的幾何意義是曲線C在P（x，y）處的法向量{fx′（x，y），fy′（x，y）}與向量QP={x-a，y-b}共線.

推論2 設空間內一定點Q（a，b，c）不屬于空間曲面Σ：F（x，y，z）=0（F存在一階連續偏導數），若點P（x，y，z）是曲面Σ上到定點Q的最值點，則有Fx′（x，y，z）x-a=Fy′（x，y，z）y-b=Fz′（x，y，z）z-c.

推論2的幾何意義是曲面Σ在P（x，y，z）處的法向量{Fx′（x，y，z），Fy′（x，y，z），Fz′（x，y，z）}與向量QP={x-a，y-b，z-c}共線.

三、應用舉例

例1的解 橢圓x2+4y2-4=0，fx′=2x，fy′=8y.由命題1，得2x2=8y3.

聯立方程組2x2=8y3，x2+4y2-4=0，

得最值點為P185，35和P2-85，-35.

由點到直線距離公式d=|2x+3y-6|22+32，得所求的最近點為P185，35，最小距離為d（P1）=113；所求的最遠點為P2-85，-35，最大距離為d（P2）=1113.

例2的解 拋物線x2-y=0，fx′=2x，fy′=-1.由命題2，得2xx--118=-1y--58.

聯立方程組2xx--118=-1y--58，y=x2，

得唯一最值點P-12，14.

由題意，得所求的最近點為P，最短距離d=|PQ|=782.

例3 （廣東省大學生數學競賽，1991）設曲面S的方程為z=4+x2+4y2，平面π的方程為x+2y+2z-2=0，試在曲面S上求一個點的坐標，使該點與平面π的距離最近，并求此最近距離.

解 曲面S：x2+4y2-z2+4=0（z>0），Fx′=2x，Fy′=8y，Fz′=-2z.由推論1，得2x1=8y2=-2z2.

聯立方程組2x1=8y2=-2z2（z>0），x2+4y2-z2+4=0，

得唯一最值點P-2，-22，22.

由題意，得所求的最近點為P，

最近距離d=|x+2y+2z-2|12+22+22=23（2-1）.

例4 （中山大學考研試題，1983）求曲面z=xy+2上一點到原點的最短距離.

解 曲面xy-z+2=0，Fx′=y，Fy′=x，Fz′=-1.由推論2，得yx=xy=-1z.

聯立方程組yx=xy=-1z，z=xy+2， 得最值點為P1（1，-1，1）和P2（-1，1，1），且|OP1|=|OP2|=3.

由題意，得所求的最近點為P1（1，-1，1）或P2（-1，1，1），最短距離為3.