基于最近發展區的一元二次方程的解法（第一課時）課例分析

劉其虎

蘇聯著名教育家維果斯基認為，兒童至少要確定兩種發展水平.一種是現有的（或當前的）發展水平，指的是兒童在完成一定發展程序的基礎之上所形成的心理發展水平，表現為兒童能夠獨立地解決問題；另一種是潛在的（或未來的）發展水平，即兒童可能完成的發展水平，表現為兒童不能獨立地完成需要解決的任務，但在教師或成人的幫助下，通過模仿和努力所達到的解決問題的水平，也是通過教學所獲得的潛力.最近發展區指的是這兩者之間的差距，即兒童現有的發展水平與經過他人的幫助可以達到的較高水平之間的差距.

基于最近發展區的理論，筆者對蘇科版解一元二次方程第一課時進行如下教學設計和分析.

一、教學流程與解讀

環節1 經歷回顧并提出問題的過程——明確研究問題.

師：我們以前學過的一元一次方程研究過哪些內容？

生：研究了一元一次方程的概念、解法和應用.

師：在以上的研究基礎上，我們現在已經研究了一元二次方程的概念了，接下來可以研究什么了.

生：可以研究一元二次方程的解法及應用了.

師：好的，我們已經會解一元一次方程、二元一次方程組和分式方程，那么像解二元一次方程組和分式方程一樣，能否將一元二次方程轉化為一元一次方程求解呢？本節課就來研究一元二次方程的解法.

設計意圖：進一步明確對一元二次方程整章的知識內容，明確一元二次方程的解法是要轉化為一元一次方程，并揭示本節課課題.

環節2 復習平方根，復述平方根的定義.

（1）填空：9的平方根是；81的平方根是；7的平方根是.

（2）平方根的定義是什么？

設計意圖：設計本環節是為了幫助學生理解本節課的直接開平方法的依據就是平方根的意義，抓住學生的知識生長點，有利于學生更好地理解直接開平方法是從哪里來到哪里去.

環節3 初探解法.

師：根據以上所復習的內容，你認為自己能解一些一元二次方程嗎？請舉例并說明解法.

生：x2=4，x=±2.

師：為什么這個方程的解是x=±2？

生：因為x2=4，x是4的平方根，所以是±2？

師：規范寫法，x1=2，x2=-2，還能再舉難度稍大的一元二次方程嗎？

生：4x2=16，5x2-10=0.

師板書規范解答過程.

師：觀察、思考以上解答過程，誰能說說這種解法的依據是什么？

生：依據是平方根的意義.

師：所以我們給這種方法取個名字可以叫什么呢？

師板書課題：直接開平方法.

設計意圖：抓住學生已經會解一些簡單的一元二次方程這一“最近發展區”，鼓勵學生自己舉例并說明方法，相對于教師拋出的問題，學生會更有求知的沖動和欲望，打破教師提出問題的常規，同時揭示本節課的解法及依據.

小結：由原題得到x+2=3，x+2=-3，這一步的依據是什么？這兩個方程是什么方程？

師：解一元二次方程的基本思想是把二次降為一次，體現的是轉化思想，就像二元一次方程組和分式方程都要轉化為一元一次方程一樣.下面你們能繼續自己舉一些一元二次方程來給大家解解看嗎？

生：2（x-2）2=8.

生：3（x-2）2-9=0.

師再出示方程：（2x-3）2=（2-x）2.

師出示方程：x2=-4，（x+2）2=-3.

師：這兩個方程會解嗎？

生：不能解.

師：為什么不能解？

生：因為任何一個數的平方不能為負數，負數沒有平方根.

師：所以通過這兩個一元二次方程我們可以認識到什么？

生：并不是所有的一元二次方程都有解.

師：不是所有的一元二次方程都有實數根，那么什么樣的一元二次方程有實數根，什么樣的一元二次方程無實數根呢？我們以后會專門研究這個問題.

設計意圖：通過先由教師拋出問題再由學生自己提出問題，得出形如a（x+k）2=b（a，k，b為常數，a≠0）的一元二次方程的解法，并和二元一次方程組和分式方程聯系起來，幫助學生認識到解一元二次方程的基本思想是降次，是轉化為一元一次方程.

環節4 課堂小結.

對照下列問題清單回答：

（1）本節課主要學習了用什么方法解一元二次方程？這種方法的依據是什么？

（2）請你再舉幾個能用直接開平方法解的一元二次方程.

（3）通過本課學習，你對解一元二次方程有什么認識？

設計意圖：通過本環節，幫助學生進一步理解直接開平方法解一元二次方程的數學依據和要注意的一些問題，并認識到有的一元二次方程可能無實數根.

二、教后反思

1.課堂教學要找準學生“最近發展區”.基于最近發展區的理論，筆者認為，本節課是解一元二次方程的第一課時，學生已經具備的發展水平是一元二次方程的概念、一般形式和平方根的概念、一元一次方程、二元一次方程組、分式方程的解法，教師要從學生的認知水平和心理發展特征出發，利用學生強烈的好奇心和求知欲，引導學生自己提出認為會解的一元二次方程，從易到難，從簡單到復雜，主動建構用直接開平方法解一元二次方程的知識結構，基礎較好的班級甚至可以跨越到用配方法、因式分解法解一元二次方程.

2.做到“三個理解”.近年來章建躍博士提出的“三個理解”（即理解數學、理解學生、理解教學）在一線教師中產生了廣泛的影響，筆者也深受啟發，在本節課的教學預設時，理解和本節內容相關的知識背景，理解本節課的教學目標和重難點，充分考慮學生已有的認知經驗、學習基礎，以“學”定問，從復習引入、探究新知、課堂訓練、歸納小結幾方面入手，利用學生自己提出的簡單的已經會解的一元二次方程入手，由易到難，真正以學生為主體，不斷激發學生的學習熱情和學習能力，把難點放在探究形如a（x+k）2=b（a，k，b為常數，a≠0）的一元二次方程的解法上，并培養學生的分類思想.

3.對于本節課，筆者有一個大膽的設想，可以打破教材安排，可根據學生舉的其他能用因式分解法或配方法的一元二次方程，如果班級學生整體水平較高，可把直接開平方法、配方法、因式分解法進行適當整合來教學，當然這還是一個設想還沒有實行過.