一次函數與反比例函數相交問題的再探究

李文萍 仲榮青

【摘要】一次函數與反比例函數是初中數學的基礎知識，也是初中水平學業考試必然要考查的知識要點，在教學中，筆者發現學生在做一次函數與反比例函數相交問題時，往往不得要領，運算量大，正確率也不高，而且還很費時間，本文對一次函數與反比例函數相交問題進行更深一步探究，發現一次函數與反比例函數相交的新結論，可以有效地提高解題效率.

【關鍵詞】一次函數；反比例函數；舉例

眾所周知，如果我們設一次函數為y=ax+b（a≠0），反比例函數為y=kx（k≠0），一次函數與反比例函數有無交點方程組是否有解ax2+bx-k=0 ①是否有解.即：

（1）b2+4ak>0方程①有兩個不相等的實數解y=ax+b與y=kx有兩個交點.

（2）b2+4ak=0方程①有兩個相等的實數解y=ax+b與y=kx有唯一一個交點.

（3）b2+4ak<0方程①沒有實數解y=ax+b與y=kx沒有交點.

下面就是本文重點闡述的重點.

【結論】如果一次函數y=ax+b（a≠0）和反比例函數y=kx（k≠0）有兩個交點A，B，且一次函數y=ax+b與y軸交于點C，與x軸交于點D，那么AC=BD（或BC=AD）.

圖1

證明 （1）若一次函數與反比例函數兩個交點在同一象限，不妨設兩個交點在第一象限，如圖1所示.

過點A作AE⊥y軸于點E，過點B作BF⊥x軸于點F，

則∠1=∠2=90°.

∵AE⊥y軸，x軸⊥y軸，

∴AE∥OD，∴∠CAE=∠BDF.

由題知y=ax+b與x軸交于點D的坐標為-ba，0.

設A為（x1，y1），B為（x2，y2），

由方程①知x1+x2=-ba，

∴x1=-ba-x2，

∴|x1|=-ba-x2，

∴AE=FD，∴△CAE≌△BDF，

∴AC=BD，∴AC+AB=BD+AB，

即BC=AD.

圖2

（2）一次函數與反比例函數兩個交點不在同一象限，不妨設兩個交點在第一、三象限.

證明 如圖2所示.

由（1）的證明得AC=BD，

∴AC-CD=BD-CD，

即BC=AD.

【推論1】如果一次函數y=ax+b（a≠0）和反比例函數y=kx（k≠0）有唯一一個交點A，且一次函數y=ax+b與y軸交于點C，與x軸交于點D，那么點A是線段CD的中點.

圖3

證明 如果一次函數y=ax+b（a≠0）和反比例函數y=kx（k≠0）有唯一一個交點，

即在（1）中，點A，B重合時，如圖3所示.

∵AC=BD，點A，B重合，

∴AC=AD，

∴A是線段CD的中點.

【推論2】如果正比例函數與反比例函數有交點，那么這兩個交點關于原點對稱.

圖4

證明 如果正比例函數y=ax（a≠0）和反比例函數y=kx（k≠0）有交點，

即在（1）中，點C，D，O重合時，如圖4所示.

∵AC=BD，點C，D，O重合.

∴AO=BO，

∴點A，B關于原點對稱.

【中考題實例】

1.如果一個正比例函數的圖像與反比例函數y=6x的圖像交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，那么（x2-x1）（y2-y1）的值為.

解 ∵正比例函數與反比例函數的兩個交點關于原點對稱，∴x1=-x2，y1=-y2，

∴（x2-x1）（y2-y1）=2x2·2y2=4x2y2=4×6=24.

2.在同一平面直角坐標系中，若一個反比例函數的圖像與一次函數y=-2x+6的圖像無公共點，則這個反比例函數的表達式是（只寫出符合條件的一個即可）.

圖5

解 由題知A為（3，0），B為（0，6），由推理1知，C是線段AB的中點.

∴C為32，3，

∴過C的反比例函數為y=92x，

∴所求反比例函數y=kx中，k>92.

圖6

3.如圖6所示，直線y=-33x+b與y軸交于點A，與雙曲線y=kx在第一象限交于B、C兩點，且AB·AC=4，則k=.

解 過點B作BE⊥y軸于E，BF⊥x軸于F，

由題知∠FBD=∠EAB=60°，AC=BD，

∴k=BE·FB

=ABsin∠EAB·BDcos∠FBD

=AB·AC·sin60°·cos60°

=4×32×12

=3.

結束語

以上內容是筆者在教學中的發現，希望對各位教師的教學有益處，對學生的學習有幫助.不足之處，歡迎指正.