性質(zhì)在手 解題無憂

姜華文

【摘要】掌握線段垂直平分線的性質(zhì)，可以熟練解決與此有關的線段和角的計算以及證明題.

【關鍵詞】線段；垂直平分線；計算；證明

與線段垂直平分線有關的計算題一般有兩類，一類是關于邊長和周長的計算，一類是關于角的計算.要熟練解決與垂直平分線有關的計算題，關鍵是要掌握垂直平分線的性質(zhì)以及有關的結(jié)論.

一、關于證明兩條線段相等的問題

例1 如圖1所示，△ABD為等邊三角形，△ACB為等腰三角形且∠ACB=90°，DE⊥AC交AC延長線于點E，求證：DE=CE.

分析 要證明DE=CE，只要能證明△EDC是等腰三角形即可，于是可以做出等邊三角形ABD的底邊AB上的高DF，由于△ACB也是等腰三角形且∠ACB=90°，即DF必經(jīng)過點C，這樣由等腰三角形的三線合一，問題即可得證.

證明 過點D作DF⊥AB于點F，因為△ABD為等邊三角形，所以DF是線段AB的垂直平分線，又因為△ACB為等腰三角形且∠ACB=90°，所以點C必在AB的垂直平分線上，即點D，C，F(xiàn)在一條直線上，所以由等腰三角形的三線合一可知，∠ACF=45°，即∠DCE=45°，又DE⊥AC，即∠E=90°，所以∠EDC=45°，即∠DCE=∠EDC，所以DE=CE.

二、關于角的計算問題

例2 如圖2所示，在△ABC中，DE、FG分別是邊AB、AC的垂直平分線.

（1）試分別寫出與∠B、∠C相等的角；

（2）若∠BAC=100°，則∠EAG等于多少？

解 （1）∵DE，F(xiàn)G分別是邊AB，AC的垂直平分線，

∴AE=BE，AG=CG，

∴∠B=∠BAE，∠C=∠CAG.

（2）由（1）可知，∠EAG=∠BAC-（∠BAE+∠CAG）=∠BAC-（∠B+∠C）=100°-（180°-100°）=20°.

說明：這是一道典型的與垂直平分線有關的角的計算題.與上面邊長和周長的計算題一樣，關于角的計算題，依然涉及垂直平分線的性質(zhì)的應用，解題時需要運用到垂直平分線的性質(zhì)中關于角的基本結(jié)論.

三、關于邊長或周長的計算問題

例3 如圖3所示，在△ABC中，AC的垂直平分線交BC于E，交AC于D，△ABE的周長是a cm，AC=b cm.

（1）求AB+BC的長度；（2）求△ABC的周長.

解 （1）因DE是AC的垂直平分線，故AE=CE.

∵△ABE的周長是a cm，

∴AB+BC=AB+BE+EC=AB+BE+AE=a（cm）.

（2）由（1）的結(jié)論及AC=b cm，可求得△ABC的周長=AB+BC+CA=（a+b） cm.

說明：這是一道與垂直平分線有關的經(jīng)典題，解題時，需要運用AE=CE這一結(jié)論.

四、綜合問題

例4 如圖4所示，在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB，BC于點D，E，AC的垂直平分線分別交AC，BC于點F，G，且BC=12，∠BAC=120°.

（1）求△AEG的周長；

（2）求∠EAG的大小；

（3）若AB=AC，試判斷△AEG的形狀.

解 （1）∵DE，F(xiàn)G分別是AB，AC的垂直平分線，

∴AE=BE，AG=CG.

∴△AEG的周長=AE+EG+AG=BE+EG+CG=BC=12.

（2）∵DE，F(xiàn)G分別是AB，AC的垂直平分線，

∴∠B=∠BAE，∠C=∠CAG.

∴∠EAG=∠BAC-（∠BAE+∠CAG）=120°-（∠B+∠C）=120°-（180°-120°）=60°.

（3）由AB=AC，可得∠B=∠C=30°.

∴∠AEG=∠AGE=60°，

∴△AEG為等邊三角形.

說明：這道題既有邊長和周長的計算，也有角的計算，是一道與垂直平分線相關的綜合計算題，其中涉及的解題思路（如求∠EAG），在前面的例題中已有體現(xiàn).

綜上所述，與垂直平分線相關的證明和計算題，基本題型變化不大，只要牢牢把握住垂直平分線的性質(zhì)和基本結(jié)論，就能順利地解決.