數梯形、四邊形、正方形個數

胡皓

【摘要】首先通過數簡單梯形和正方形的題目找到規律，然后用一個統一的方程來準確地概括所有情況.遇到一些特殊情況需要單獨做討論.通過公式以快速、簡便、高效地算出梯形、正方形、平行四邊形的數目.再復雜的題目都會一目了然.

【關鍵詞】數圖形個數；統一的方程；快速；準確；方便

假期給孩子輔導作業時發現了一道有趣的問題.這是“計數問題”，也就是數圖形個數問題.《同步奧數培優4年級》【1】里的第五講就是說的“計數問題”.題目如下：

問：圖中有多少個梯形？

筆者想，要是題目復雜很多，那根本數不過來，應該找到一種規律，甚至用一個方程來快速、高效地算出答案.這樣就大大節約時間，并且準確率更高.

一、只用橫線切割梯形

先把復雜的問題簡單化，從最簡單的情況入手.

x代表一個大梯形被多少根橫線切割.

當x=0的梯形總數：1=0+1+0；

當x=1的梯形總數：3=2+1+0；

當x=2的梯形總數（如圖1所示）：6=3+1+2；

當x=3的梯形總數：10=4+1+5（5=2+2+1）；

當x=4的梯形總數：15=5+1+9（9=3+3+2+1）；

當x=5的梯形總數：21=6+1+14（14=4+4+3+2+1）.

由此，我們可以推斷：當x=6時，梯形總數為：7+1+（5+5+4+3+2+1）=28；

當x=7時，梯形總數為：8+1+（6+6+5+4+3+2+1）=36.

經驗證確實如此.

我們用S代表梯形總數，那么有：

S=（x+1）+1+（x-1）+（x-1）+（x-2）+（x-3）+（x-4）+……+3+2+1

=（2x+1）+[1+（x-1）]（x-1）2

=（x+1）（x+2）2.公式1

經驗證，此公式符合事實.

同理，此公式也可運用到平行四邊形中.

（一）只用豎線且是垂直豎線切割梯形

y1代表一個大梯形被多少根垂直豎線切割.

當y1=0時的梯形總數：1；

當y1=1時的梯形總數：3；

當y1=2時的梯形總數：5；

當y1=3時的梯形總數：7；

當y1=4時的梯形總數：9；

以此可以推斷S=2y1+1.公式2

（二）只用豎線且是非垂直豎線切割梯形

y代表一個大梯形被多少根非垂直豎線切割.

當y=0時的梯形總數：1；

當y=1時的梯形總數：3=2+1+0；

當y=2時的梯形總數：6=3+1+2；

當y=3時的梯形總數：10=4+1+5（5=2+2+1）；

當y=4時的梯形總數：15=5+1+9（9=3+3+2+1）；

此情況同樣運用于公式S=（x+1）（x+2）2.

二、既有橫線切割又有豎線切割的梯形

對于既有橫線分割又有豎線分割的梯形，其數學方法上就是用“相乘”.先算出只有橫線時梯形的總數S1，再算出只有豎線時梯形的總數S2，然后S=S1×S2.

當x=1，y=1時的梯形總數：S1=（1+1）（1+2）2=3，S2=S1，S=S1×S2=3×3=9；

當x=2，y=2時的梯形總數：S1=（2+1）（2+2）2=6，S2=S1，S=S1×S2=6×6=36；

如圖2所示，x=3，y=4時的梯形總數：S1=（3+1）（3+2）2=10，S2=（4+1）（4+2）2=15，S=S1×S2=10×15=150；

當x=3，y1=3時的梯形總數：S1=（3+1）（3+2）2=10，S2=2×3+1=7，S=S1×S2=10×7=70.

結論：利用公式能夠快速、方便、準確的算出答案，即使一個梯形被上千根橫線和上千根豎線分割，也能很快算出答案.

三、既有橫線又有豎線分割的正方形

其分析統計原理和梯形一樣.

由于分割正方形時，橫線數和豎線數相同才能使每個小四邊形都是正方形.即y=x或者y1=x.否則情況需要另作討論.

x代表一個大正方形被多少根橫線或豎線切割.

當x=0時的正方形總數：1；

當x=1時的正方形總數：5=4+1；

當x=2時的正方形總數：14=9+1+4（4=22）；

當x=3時的正方形總數：30=16+1+13（13=32+22）；

如圖3所示，x=4時的正方形總數：55=25+1+29（29=42+32+22）；

由此，我們可以推斷當x=5時，正方形總數：（5+1）2+1+（52+42+32+22）=91.

經驗證，計算符合事實.

假設正方形總數為S，則有：S=（x+1）2+1+x2+（x-1）2+（x-2）2+…+32+22=

（x+1）2+x（x+1）（2x+1）6=2x3+9x2+13x+66.公式3

【參考文獻】

[1]《同步奧數培優》編寫組.同步奧數培優·小學四年級[M].長春：吉林出版集團，2012.