“時分角函數(shù)與轉輪公式”

【摘要】本文簡要介紹“時分角函數(shù)”與“轉輪公式”.類似于三角函數(shù)，“時分角函數(shù)”揭示了“六十進制數(shù)——時間的分數(shù)、時數(shù)和它們夾角之間存在著的固有的對應關系”.為更好地反映這一客觀規(guī)律，我們創(chuàng)建“時分角函數(shù)”“時分常數(shù)”，并對其性質進行了討論.時分角函數(shù)已取得多方面的應用.

【關鍵詞】時分角函數(shù)；時分常數(shù)；時分角；轉輪公式

“六十進制數(shù)——分數(shù)、時數(shù)與其夾角之間存在著固有的一一對應關系”.這一對應關系可用“時分角公式”唯一表達.為對其本質進行深入研究，我們創(chuàng)建“時分角函數(shù)”，并對其性質進行討論.作為“時分角函數(shù)的應用”之一，本文暫先簡單介紹“轉輪公式”.

一、時分角公式[1]

設時針的小時數(shù)為N點、分針數(shù)為X分.類似于三角函數(shù)的角度區(qū)分正、負，這里定義，順時針方向，分針在時針前，其夾角θ為正.分針在時針后，其夾角θ為負.

因為分針每60分轉過360度，每分鐘轉過6度.故在N點X分，分針轉過的角度為6X度.而時針每小時轉過30度，每12分鐘轉過1小格，即6度.故時針轉過的角度為30N+6X12（度）.

當分針、時針成交角θ時，可得方程：

6X=30N+6X12+θ，

即X=6011·N+θ30（分），（1）

或θ=X·1160-N·602（度）.

公式（1）表明時針、分針和它們交角之間存在著固有的對應關系.我們把它稱為“時分角公式”.把分針與時針的夾角θ，定義為“時分角”.

“時分角公式”具有普遍性、通用性，對任何鐘表問題都適用.舉例（略）.

二、時分角函數(shù)

（一）時分角函數(shù)的引入

由時分角公式（1）得，θ=112·X-30·N（度）.（2）

對某一特定的時間點N，它是一直線方程θ=kX+b.

其中k=112，b=-30·N，θ為X的線性函數(shù).

為解讀公式（2），以2點15分為例，可解得時分角為：

θ=112·X-30·N=112·15-30·2=22.5（度）.

仔細分析，可知其實質為θ=360°60·15-30°60·15-30°·2.

其中，第一項是分針轉過的角度，第二項是因分針轉動而引起時針轉過的角度，第三項則是時針數(shù)本身的角度.所以第一項減去第二、三項的和，即為“時分角”θ.

（二）時分角函數(shù)的定義

由公式（1）或（2）的函數(shù)關系，可描繪出時分角θ關于變量X的函數(shù)值表.見附錄1“時分角函數(shù)表”為簡明，文中僅列出部分θ為特殊角時的時分角函數(shù)值表（表1）.從此表可見，雖對應的時分角θ已是特殊角，但X的數(shù)值仍較繁復（表中已四舍五入到一位小數(shù)）.其根源在于公式（1）中的系數(shù)6011.

從表面上看，時分角函數(shù)似乎是一個帶兩個自變量的函數(shù)，或帶一參變量N的函數(shù).但對某一特定時刻（N點X分），若按分x來計量x=N*60+X（單位分），那實際上它仍是一單變量x的函數(shù).

三、時分角函數(shù)的性質

1.時分角函數(shù)的圖像：與函數(shù)表一樣，當X取時分常數(shù)C的整數(shù)倍時，其對應的時分角θ均為特殊角.為明確起見，在總的函數(shù)圖像（圖1）中，X用單位C表示.在放大的區(qū)域圖中，X同時用兩種單位表出.

圖1 時分角函數(shù)圖像

2.時分角函數(shù)的性質：由圖1可見，時分角函數(shù)CLO（X）為一階躍函數(shù)，對自變量x來說為單值函數(shù).周期為12小時.在每一小時區(qū)間上均為線性、遞增，斜率為112（即330°60）.

事實上，因時分角θ是按360°循環(huán)的.所以，它也可表示為一線性函數(shù).如圖2所示.

圖2 按分x=N*60+X來計量的時分角函數(shù)圖像

四、時分角函數(shù)的應用

時分角函數(shù)不僅能解決各類鐘表奧數(shù)問題，還可用于解決數(shù)學中有關追及、齒輪、循環(huán)、建模等問題，以及其他許多實際應用問題.

（一）簡單應用舉例

例 欲對某地球衛(wèi)星空間站A的外部設備進行維修，使用在其同一軌道平面內(nèi)的，以十二倍角速度同向運行的另一人造地球衛(wèi)星B對它拍照取證.拍照位置需選擇在它們分別與地心連線成15度時，既沒有遮擋，且最為清晰.考慮到還會受太陽光照、地球自身陰影等影響，故需找出所有可作備選的最為恰當?shù)呐恼諘r刻，供專家選擇.

解 此題符合“時分角公式”使用條件.AO為時針，BO為分針，時鐘角為+15°、-15°.不必計算，由“時分角函數(shù)表”即可查得結果.可考慮選擇拍照的時刻共23個，分別為

對應+15°的有11個：

N012345

X2.7272738.18181813.6363619.0909124.5454530

N67891011

X35.4545540.9090946.3636451.8181857.2727362.72727

對應-15°的有12個：

N012345

X-2.727272.7272738.18181813.6363619.0909124.54545

N67891011

X3035.4545540.9090946.3636451.8181857.27273

其中11點62.72727分，即0點2.727273分.

在此例中，若改變初始條件，人造衛(wèi)星B的角速度不是12倍，而是4倍、24倍……似乎“時分角公式”就不適用了.但由時分角公式推出的轉輪公式仍可輕易解決.

（二）轉輪公式

在時分角公式中，若把分針、時針的轉速比（角速度）記為k，則k=360°30°=12.

但在實際科學技術應用中，例如，變速箱，小、大齒輪的轉速比不一定為12.

1.討論輪1（分）針轉360°時，輪2（時）針轉60°的情況（即k=6）：

設輪1針、輪2針成交角θ度，對照時分角公式，可列出方程

6X=60N+12·X12+θ，

解之，得計算公式：X=12·N+θ60（分）.

2.討論一般情況，輪1針轉360°時，輪2針轉360°k：

此時方程變?yōu)?X=360k·N+360k60·X+θ，

解之得X=60k-1*N+k360·θ（分）.（4*）

稱公式（4*）為“轉輪公式”.“轉輪公式”有著極為廣泛的應用.

五、結 論

1.“時分角公式”揭示了“時鐘的分針、時針數(shù)和它們夾角之間存在著固有的對應關系”.為反映這一客觀規(guī)律，本文創(chuàng)建了時分角函數(shù)及其圖、表.深刻地闡明了時分角函數(shù)的基本性質.為進一步研究時分角函數(shù)及其應用奠定了基礎.

2.時分角函數(shù)的定義并不局限于六十進制數(shù)，可推廣至任何進制的關聯(lián)物理量，建立類時分角函數(shù)，如轉輪定理.時分角函數(shù)有望在教學、天體運動、空間定位以及行星輪系、精密儀器設計制造等領域取得廣泛應用.

【參考文獻】

[1]劉凱倫.鐘表公式[Z].2015青島市數(shù)學建模大賽（論文）一等獎.