數學復習課教學設計中的輔助運用

馬燕

【摘要】幾何畫板作為一款教育軟件，其強大的動態演示功能能夠較好地為學生提供“數學實驗”的環境，軟件在課堂教學中的恰當運用能夠增強學生的數學體驗、拓展學生的探究空間，從而引導學生運用數學的思維方式進行思考，增強發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力（簡稱“四能”）.數學復習課的核心知識需要學生自主建構，數學思想方法需要強化運用，因此，本文以中考復習課“圓”教學設計為例，以具體的教學內容和設計環節為載體，從開放的平臺、探究環境以及實驗功能幾個方面描述了幾何畫板軟件在本節課教學設計中的輔助運用.

【關鍵詞】幾何畫板；“四能”理念；數學實驗；自主探究；復習課

一、運用幾何畫板的開放平臺，創設問題情境

圖1

問題情境 如圖1所示，已知圓M的圓心在x軸上，與兩坐標軸相交于點A，B，C，D，其中B點坐標為（8，0），D點坐標為（0，-4）.想一想，根據已有信息，你能得到哪些結論，其中運用了哪些數學知識？

生：基本圖形，如子母直角三角形、等腰三角形.

生：由D點的坐標（0，-4）及圓的對稱性，我得到了C點的坐標為（0，4）.

生：我可以計算出圓的半徑為5.

師：你是怎么求的？數學依據是什么？

生：連接MD，由勾股定理可以得到OM=3，圓的半徑為5.

生：除了可以得到點的坐標外，我還能計算出線段AC的長度以及BC，AC的函數解析式等.

（一）開放性問題情境的設置體現“四能”教學的基本要求

教師給出了這樣一個開放性問題，并且給學生提供一定的時間和空間，旨在引領學生回顧舊知，在學生們都感覺到很熟悉的這個圖形中嘗試發現問題、提出問題.教師充分運用了學生已有的相關知識，以開放式問題為載體，初步引導學生發現問題、提出問題，進而為分析問題、解決問題做好準備，培養了學生的問題意識，有效地建構知識體系.

（二）幾何畫板軟件的輔助功能

幾何畫板軟件樸實無華的界面，體現了以數學內涵為根本，簡單易懂的畫圖操作實現了添加輔助線與還原圖形之間的順利切換，簡單的“動態幾何”則完成了基本圖形的提取，幫助學生實現了基本方法和基本解題策略的鞏固.

二、運用幾何畫板的探究環境，強化核心知識

（一）操作探究，體驗方法

圖2

探究性問題1 如圖2所示，你能在圖中找到一點E，使得弧BE的度數是60°嗎？說說你的想法.你能確定弦BE所對的圓周角的度數嗎？

在探究性問題1中，學生們由等邊三角形的性質順利完成了點E1，E2的確定，但對于弦BE所對的圓周角的度數問題，卻出現了漏解.教師通過請不同學生上來在幾何畫板中將弦BE1所對的圓周角畫出來，并提問：“你們找的這些角的頂點有什么特點？這些圓周角的頂點一定要在優弧上嗎？”學生們頓悟，角的頂點也可在劣弧上.

（二）規律探究，選擇策略

圖3

探究性問題2 如圖3所示，若點I為圓M上的任意一點，你能嘗試探索∠BIC和∠ADC的數量關系嗎？

在探究性問題2中，學生們都注意到了分類的問題，分別在圓上取了I1和I2兩個點，主動地探索兩種情況下角的數量關系.

生：我的思路是將動點I1與D點重合，此時兩個角的和為90°，理由是直徑所對的圓周角為直角.

師：這個想法很好，先從特殊的位置觀察，猜想結論.

生：連接AI1，根據同弧所對的圓周角相等，可得∠ADC=∠AI1C，從而轉化為直徑所對的圓周角解決.

師：很好，還有其他的方法嗎？大家可別忘了在圓中扮演著圓心角和圓周角之間媒介作用元素是什么？

（學生們說道：“是弧！”）

師：那我們是否可以嘗試從弧的角度去解決問題呢？

（教師引導學生感受將問題轉化為弧的度數即半圓的度數，解決了此題.）

師：在這些方法中你最喜歡哪個？它們之間有聯系嗎？

（三）推理探究，體現角度

圖4

探究性問題3 如圖4所示，若要使過點C的直線l為圓M的切線，需要添加一個怎樣的條件，請說明理由.

生：可以添加條件，使得∠DCA=∠CBA，連接CM，可證得CM⊥CD.

師：很好，還有別的方法嗎？

生：我是通過倒推的思路，若CM⊥CD，則有△MCO與△MDC相似，可計算出DM的長度，從而確定D點的坐標.

生：因為∠MCO=∠CDM，故可以利用∠MCO的正切值計算出OD的長度.

在強化核心知識的教學環節中，教師分別設置了操作探究、規律探究和推理探究幾種類型的探究性問題.通過這些問題的設置，一方面，是讓學生主動暴露知識的漏洞和思維的不足；另一方面，也體現了復習課的特征，即構建知識網絡的同時理解數學核心知識之間的內部聯系，感受分類、轉化等重要的數學思想方法，進而把數學基礎知識與技能轉化為分析問題、解決問題的能力.

① 幾何畫板較好的畫圖操作性得到了體現，對于問題1，我們可以在軟件中運用相關的功能，像使用圓規、三角板一樣方便地完成作圖，教師在講解時可當堂操作，為幫助學生經歷觀察、歸納等活動創設了良好的幾何背景.

② 幾何畫板可以在圖形運動中動態地保持幾何關系，如問題2，則可以把“形”和“數”的潛在關系及其變化動態的過程顯現在屏幕上，從而引導學生在變化的圖形中發現不變的幾何規律.

三、運用幾何畫板的實驗功能，嘗試經驗遷移

拓展性問題 我們已經研究了直線和圓的位置關系，如果我們改變研究的對象， 將“圓”改為“正方形”，你會提出哪些問題？用什么方法開展研究？

生：類比于圓和直線的位置關系，我會研究正方形和直線有哪些位置關系.

師：很好，那你覺得會有哪些位置關系？

生：類比于圓和直線的位置關系，我想會不會也有相離、相交和相切呢？

師：大家如何想這個問題？又該如何研究呢？

生：我覺得可以看正方形和直線的交點的個數.

生：我覺得可以看正方形的中心到直線的距離.

師：大家說得很好，能夠由學習“直線和圓的位置關系”的經驗出發，提出非常有價值的研究問題，而且還能夠設計出類似的研究思路和方法，太了不起啦！請大家課后嘗試思考，如果繼續改變研究對象，你還會有怎樣的想法？

（一）拓展性問題設置體現“四能”教學的深層意義

最后，以“正方形和直線的位置關系”這一新問題進行拓展，這就進一步提供了培養問題意識的契機.我們不難看出，學生們已經具備了研究兩種圖形位置關系的簡單想法.稍加點撥，學生們就會嘗試將這些研究方法運用在新的研究對象上，這種數學基本活動經驗的遷移對于培養學生的整體邏輯思維是大有裨益的.

（二）幾何畫板軟件的實驗平臺

學生可以通過自主畫圖并運用幾何畫板中的計算和動態演示功能進行實驗，自覺地將解決“直線和圓的位置關系”中的經驗進行遷移，這種“數學實驗”的環境，使學生由過去枯燥乏味的“聽數學”轉變為真正的“做數學”.

應該說，本節復習課努力以問題為主線，注意啟發學生思考，引導學生開展數學探究活動，使他們經歷觀察、實驗、猜測、推理、反思等理性思維的基本過程，而幾何畫板的輔助功能使學生更加主動地、富有探索性地學，逐步培養學生的問題意識，提升解決問題的能力.endprint