偏導數在初等數學求切線方程中的應用

鐘彩容+劉海鴻

【摘要】在高中數學中，求二次曲線的切線方程是一類重要題型.本文將結合高等數學中隱函數求導的相關知識證明一個公式，并運用該公式求解兩個高考題，以體現該方法過程簡便、快捷，與常規解題方法相比，更具優越性.

【關鍵詞】二次曲線；切線方程；偏導數

圓錐曲線以切線為背景的問題經常出現在高考題中，這類問題往往運算量大而且計算十分復雜，最終因為時間不夠而被考生放棄.為此，本文結合高考實例探索圓錐曲線切線方程的求法，以供參考.

經過二次曲線Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0上一點P（x0，y0）處的切線方程是Ax0x+Bx0y+xy02+Cy0y+Dx0+x2+Ey0+y2+F=0.

證明過程如下：

證 對方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0兩邊同時關于x求導數，得到

2Ax+B（y+xy′）+2Cyy′+D+Ey′=0，

即（Bx+2Cy+E）y′=-（2Ax+By+D）.

根據導數的幾何意義，曲線經過P（x0，y0）處切線的斜率k應滿足關系式：

（Bx0+2Cy0+E）y′=-（2Ax0+By0+D），

即（Bx0+2Cy0+E）（y-y0）=-（2Ax0+By0+D）（x-x0），

整理得2Ax0x+B（x0y+xy0）+Cy0y+D（x0+x）+E（y0+y）=2Ax20+2Bx0y0+2Cy20+2Dx0+2Ey0.

又因為Ax20+Bx0y0+Cy20+Dx0+Ey0+F=0，

所以2Ax0x+B（x0y+xy0）+Cy0y+D（x0+x）+E（y0+y）=-2F，

即Ax0x+Bx0y+xy02+Cy0y+Dx0+x2+Ey0+y2+F=0.這就是二次曲線的切線方程，稱為“四線”一方程，下面通過兩個高考題說明該公式的運用.

例1 （2015高考四川，理10）設直線l與拋物線y2=4x相交于A，B兩點，與圓（x-5）2+y2=r2（r>0）相切于點M，且M為線段AB的中點.若這樣的直線l恰有4條，則r的取值范圍是（ ）.

A.（1，3）

B.（1，4）

C.（2，3）

D.（2，4）

解析 顯然當直線l的斜率不存在時，必有兩條直線滿足題設.當直線l的斜率存在時，設斜率為k.設A（x1，y1），B（x2，y2），x1≠x2，M（x0，y0），則y21=4x1，y22=4x2， 相減得（y1+y2）（y1-y2）=4（x1-x2）.由于x1≠x2，所以y1+y22·y1-y2x1-x2=2，即ky0=2，即k=2y0.又圓與直線相切，由“四線”一方程得切線方程為：（x-5）（x0-5）+y0y=r2，此時k=5-x0y0，所以2=5-x0，x0=3，即點M必在直線x=3上.將x=3代入y2=4x得y2=12，∴-230）上，所以（x0-5）2+y20=r2，r2=y20+4<12+4=16.又y20+4>4（由于斜率不存在，故y0≠0，所以不取等號），所以4

例2 （2015高考湖北，理21）一種作圖工具如圖1所示.O是滑槽AB的中點，短桿ON可繞O轉動，長桿MN通過N處鉸鏈與ON連接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動，且DN=ON=1，MN=3.當栓子D在滑槽AB內作往復運動時，帶動N繞O轉動一周（D不動時，N也不動），M處的筆尖畫出的曲線記為C.以O為原點，AB所在的直線為x軸建立如圖2所示的平面直角坐標系.

（Ⅰ）求曲線C的方程；

（Ⅱ）設動直線l與兩定直線l1：x-2y=0和l2：x+2y=0分別交于P，Q兩點.若直線l總與曲線C有且只有一個公共點，試探究：△OQP的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說明理由.

解析 （Ⅰ）設點D（t，0）（|t|≤2），N（x0，y0），M（x，y），依題意，MD=2DN，且|DN|=|ON|=1，所以（t-x，-y）=2（x0-t，y0），且（x0-t）2+y20=1，x20+y20=1.

即t-x=2x0-2t，y=-2y0， 且t（t-2x0）=0，由于當點D不動時，點N也不動，所以t不恒等于0，于是t=2x0，故x0=x4，y0=-y2，代入x20+y20=1，可得x216+y24=1，

即所求的曲線C的方程為x216+y24=1.

（Ⅱ）由題意知，直線l總與曲線C相切，設E（x0，y0），由“四線”一方程得切線方程為：x0x16+y0y4=1，切線與l1：x-2y=0的交點P162y0-x0，82y0-x0；切線與l2：x+2y=0的交點Q-162y0+x0，82y0+x0，又O（0，0），已知三點坐標，則

S△OQP=12162y0-x082y0-x01-162y0+x082y0+x01001=1284y20-x20，

而x2016+y204=1，所以S△OQP=12816-2x20，當x0=0時，S△OQP有最小值為8.

小結 應用該方法可以很快寫出圓錐曲線在某點處的切線方程，省去設直線方程、聯立方程組并消元、利用判別式Δ=0確定切線斜率的過程，節省時間，減少失誤，快速解題.

在解決圓錐曲線問題時，相比常規解法，“四線”一方程思路直接，計算簡便，而且與切線的斜率是否存在沒有關系，無須分類討論.平時師生應該探索一些巧妙的解題規律，培養數學思維能力.

【參考文獻】

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