分離參數法與分類討論法在求參數范圍問題中的運用

徐浩

一、問題提出

通過高考數學試題研究不難發現，求不等式恒成立（有解）中參數取值范圍（最值）問題是重點和難點內容之一，并且經常在壓軸題中出現.此類問題涉及知識面廣，考題靈活，一直是考生的棘手問題.

分離參數法與分類討論法是解決此類問題常用的方法.分離參數法是通過分離參數，用函數觀點討論主變量的變化情況，由此可以確定參數的變化范圍.分類討論法即分類討論思想，是指在解決比較復雜的問題時，可將問題所涉及的對象劃分為若干互不重疊的部分，然后分別求解或論證，最后綜合各類結果完成整個問題的解決.

分離參數法是求參數范圍（最值）問題比較快捷的方法，它直觀、明了，可以避免分類討論的麻煩，給做題帶來極大的方便，從而更受學生的“喜愛”.很多學生一遇到求參數問題就采用分離參數法，分類討論法常常被冷落一邊.是不是所有的求參數問題都可以采用分離參數法？分類討論是不是比較困難呢？答案顯然是否定的.下文將結合具體題目談談兩種方法的運用.

二、問題探討

對于求一次、二次不等式中含參數取值范圍的較為簡單的問題，在這里不再贅述，下面結合解答題的例子談談兩種方法的使用.

例 已知函數f（x）=2x+3lnx-x-2，g（x）=x2-4bx-14.若對任意x1∈（0，e]，都存在x2∈[0，2]，使得f（x1）≥g（x2）成立，求實數b的取值范圍.

思路探究 實質是求f（x1）min≥g（x2）min恒成立問題，其中x1∈（0，e]，x2∈[0，2].

解題過程呈現 （方法一：分離參數法）

f′（x）=-2x2+3x-1=-x2+3x-2x2=-x2-3x+2x2（0

由f′（x）=0得x=1和x=2，

當0

當10；

∴f（x）在（0，1]和[2，e]上單調遞減，在[1，2]上遞增.

又f（1）=-1，f（e）=2e-e+1，

且f（e）-f（1）=-（e-1）2-3e>0，

∴x1∈（0，e]，f（x）min=f（1）=-1.

∵對任意x1∈（0，e]，都存在x2∈[0，2]，使得f（x1）≥g（x2），

∴只需當x∈[0，2]時，g（x）min≤-1，即x2-4bx-14≤-14bx≥x2+34在x∈[0，2]恒成立.

① 當x=0時，不等式不成立；

② 當0

∵x+34x≥3，當且僅當x=34x（0

∴4b≥3，即b≥34，故b取值范圍為34，+∞.

（方法二：分類討論法）

由存在x∈[0，2]使得g（x）≤-1（求f（x）min同上）恒成立.

∵g（x）的對稱軸方程為x=2b，

∴① 當2b<0即b<0時，g（x）min=g（0）=-14>-1，不合題意，舍去.

② 當2b∈[0，2]即0≤b≤1時，g（x）min=g（2b）=-4b2-14≤-134≤b≤1；

③ 當2b>2即b>1時，g（x）min=g（2）=154-8b≤-1b≥1932，所以b>1.

綜上所述，b取值范圍為34，+∞.

評注 x∈[0，2]，g（x）min≤-1恒成立，求b的取值范圍，采用分離參數法明顯優于分類討論法.

三、問題結論

1.對于含參數的不等式中，若分參后，主元式子（不含參的式子）不復雜，較為容易地求出對應最值，最好選擇用分離參數法，因為分離參數比分類討論要直接，避免分類討論的麻煩.2.對于分參后，主元式子需要經過一定構造計算等問題，既可以用分離參數法，也可以用分類討論，因為兩種方法都需要經過一系列的轉化計算.3.對于很難分離出參數的或分參后，主元式子十分復雜、求不出最值，出現端點值無意義、“00”型（高中知識無法解決）等，只能用分類討論法，因為根本就分不出參數或分參后無法求出相應的最值.4.分離參數不是分離常數，在運用分離參數法解決參數取值問題時，可以分離出含有參數的式子，為求主元式子最值“減負”；在運用分類討論解決參數取值問題時，需要注意分類的對象是確定的，標準是統一的，不遺漏、不重復，科學地劃分，分清主次，不越級討論.

分離參數法有時也不能避免討論，但是至少你需要研究的不含參的函數是不變的，所以一般具有很大的優越性.分類討論法可以解決分離參數法不易解決的問題，但分類討論法一般涵蓋知識點較多，具有明顯的邏輯特點，需要一定的分析能力和分類技巧，最重要的一條是“不漏不重”.總之，解題如同教學，“有法”但無“定法”，貴在“得法”.