讀書三境界，交點三部曲

宋江紅

【摘要】坐標法是解析幾何的基本方法，曲線的交點坐標要不要計算應視具體問題而定，本文從三個層次對交點問題進行提煉，第一，具體交點，先設后求；第二，過程交點，設而不求；第三，曲線系交點，不設不求.

【關鍵詞】曲線的交點；點差法；模塊化處理；簡化運算；直擊目標

在數學解析幾何問題中，曲線的交點問題是可以作為習題中的典型來說的，以此式子為例，曲線C1：f1（x，y）=0與曲線C2：f2（x，y）=0的交點就是方程組f1（x，y）=0，f2（x，y）=0 的實數解.但是，在平面解析幾何問題中，遇到兩點相交的問題，解出方程組求出交點坐標是唯一的解題方法嗎？筆者根據自己總結出來的經驗教訓，列舉出交點問題的三種境界.

一、“先設后求”，這就好像是武林界大師的第一層境界“心中有劍，手中有劍”

例1 現在已經知道探照燈的軸截面是拋物線y2=x，平行于x軸的光線照到拋物線上的點P（1，-1），反射光線經過拋物線焦點后又照射到拋物線上的Q點，請求出Q點的坐標.

解 設Q（x0，y0），則Q點是直線PF與拋物線的一個交點.由已知，拋物線的焦點F14，0，kPF=0-（-1）14-1=-43，直線PF：y+1=-43（x-1），

圖1

解方程組y20=x0，y0+1=-43（x0-1），y0≥0，

得Q116，14.

此類問題已明示求交點的坐標，考查解析幾何的基本思想方法，用代數方法解決幾何問題，一般情況下通過方程組求出即可.通過解決這樣的問題，對學生的運算能力及耐心細致的品質做出考查.

二、“設而不求”，這相當于武林界大師的第二層境界“心中有劍，手中無劍”

“設而不求”，看表面意思就可以知道就是根據題意巧妙設立未知數并不真正解出來，而是建立“未知”和“已知”之間的關系，然后進一步幫助我們解題.

（一）運用點差法解決解析幾何的中點弦問題

例2 已知某條直線交橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）于A，B兩點，線段AB的中點為C，請證明：kAB·kOC=-b2a2.

證明 設點A（x1，y1），B（x2，y2），C（x0，y0）.

∵A，B在橢圓上，

∴x21a2+y21b2=1， ①x22a2+y22b2=1. ②

①-②得：x21-x22a2=-y21-y22b2，

整理得：y1+y2x1+x2·y1-y2x1-x2=-b2a2.

又∵y1+y2=2y0，x1+x2=2x0，

∴y0-0x0-0·y1-y2x1-x2=-b2a2，

即kOC·kAB=-b2a2.

（二）利用韋達定理來實現模塊化處理，達到簡化計算目的

例3 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的焦距為4，橢圓C短軸的兩個端點與它的長軸的一個端點正好構成一個正三角形.

圖2

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）設F為橢圓C的左焦點，T為直線x=-3上任意一點，過點F作TF的垂線交橢圓C于點P，Q，證明：OT平分線段PQ.

（解題過程略）

這種類型的問題在運算及推理的過程中，如果出現了像x1+x2，x1x2這樣的結構，可以聯系一元二次方程根與系數的關系來整體處理此類問題，從而可以達到簡化運算過程的目的.

（三）運用同構式，從結構形式的統一性求直線方程，實現“設而不求”目的，大大減少計算量，優化解題過程

例4 過P（-1，-1）作拋物線C：x2=4y的兩條切線PA，PB，其中A，B為拋物線C的切點，求直線AB的方程.

（解題過程略）

此類問題依據的是“兩點確定一條直線”這一樸素事實，從結構上加以認定，從而避開計算，輕松獲得問題的解決.又比如，在求兩相交圓公共弦所在的直線方程時用的就是這種方法.

三、“不設不求”，這相當于武林界大師的第三層境界“心中無劍，手中無劍”

運用過兩曲線交點的曲線系方程就能達到可以不求交點就可以達到終極目標.

我們先看課本一道習題.

題目已知兩條曲線方程是f1（x，y）=0和f2（x，y）=0，它們的交點是P（x0，y0），求證：方程f1（x，y）=0+λf2（x，y）=0的曲線也經過點P（λ是任意實數）.

我們可以利用“過兩曲線交點的曲線系方程”（不含f2（x，y）=0）解決過兩曲線交點問題極其方便.

例5 求證：橢圓x220+y25=1與雙曲線x212-y23=1的四個交點共圓.

證明 橢圓x220+y25=1，

即x2+4y2-20=0，

雙曲線x212-y23=1，

即x2-4y2-12=0，

所以過橢圓及雙曲線的交點的曲線（不含f2（x，y）=0）的方程為（x2+4y2-20）+λ（x2-4y2-12）=0，

即（1+λ）x2+（4-4λ）y2-20-12λ=0.①

令1+λ+4-4λ≠0，得λ=35，代入①得x2+y2=17，即證橢圓與雙曲線交點在同一個圓x2+y2=17上.

此類問題充分利用過兩曲線交點的曲線系方程，解決與交點有關問題干凈利落，直擊目標，輕松解決問題，享受一份智慧的喜悅.

王國維在《人間詞話》中提出：古今之成大事業，大學問者，必經過三種之境界.

“昨夜西風凋碧樹，獨上高樓，望盡天涯路”，此第一境也.

“衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴”，此第二境也.

“眾里尋他千百度，驀然回頭，那人卻在燈火闌珊處”，此三境也.

平面解析幾何中的交點問題，本文提出“先設后求”“設而不求”“不設不求”三種層次，與王國維先生曾經提出的做學問三種境界有異曲同工之妙處.從這個角度來看，曲線的交點問題，體現了數學的意境之美.

【參考文獻】

[1]陳衛光.例談“設而不求”在解析幾何中的運用[J].中學數學，2016（13）：84-85.endprint