讓初中生“畫”出幾何思維

胡昊+趙臨龍+霍小莉

【摘要】幾何和代數構成初中數學的兩大模塊，學生學習幾何過程中普遍存在思維障礙，如何培養(yǎng)學生的幾何思維成為廣大數學教師共同的關注點.幾何的學習離不開幾何圖形，就像魚離不開水一樣，圖形構成了幾何的靈魂，因此，幾何思維的培養(yǎng)也同樣離不開圖形.擬從“畫”圖這個角度來說明對培養(yǎng)幾何直觀、分析、發(fā)散思維所具有的重要作用.

【關鍵詞】幾何思維；幾何圖形；畫圖

思維是人腦對客觀現實的概括和間接反應，幾何思維是以幾何圖形為符號語言，以對幾何對象的直接感知為基礎，建構幾何知識和解決幾何問題的思維過程[1].初中階段的學生學習三角形、四邊形、圓等的性質，內容上由形象到抽象的過渡，使學生產生一系列的思維障礙.如直觀感知的缺乏、邏輯的混亂、知識點的運用等，因此，常常聽到學生抱怨說幾何難學，成為學習路上的攔路虎.筆者認為這是從小學的“了解”幾何到初中的“推理”幾何的必然過程，需要從幾何認識上升到幾何推理.在上升中，由于缺乏相應的幾何直觀思維、分析思維、發(fā)散思維，造成幾何難學.

本文所提到的畫（作）圖主要指的是將題目中的文字語言、符號語言轉化為圖形語言，這種方法是建立在學生對問題的探究和問題轉化之上，就像在解答幾何題目前，先進行演算的過程.與尺規(guī)作圖相比較，畫圖仍然保持著嚴格的尺規(guī)作圖方法，但是又體現著由于學生思維的不同而產生幾何圖形的差異性，可以說根據題目畫圖是一種不逾矩的創(chuàng)造能力的體現.現根據題目由學生自己畫出幾何圖形的方式，來逐步培養(yǎng)學生的幾何思維做以具體的闡述.

一、由“畫”復習知識點，夯實幾何直觀思維基礎

幾何知識點就像一塊塊的磚，是進行幾何解題的原料，思維就是對這些原料的加工.如何在題中更好地鞏固這些知識，筆者認為讓學生自己根據題目要求，做出圖形是一種有效的方式.

例1 在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，DE為AB的垂直平分線，連接BD，試說明BD平分∠CBD.

分析 這是與線段垂直平分線知識點相關的一道習題，教師指導學生自己畫出圖形.在作圖過程中嚴格要求學生用尺規(guī)作圖的方法做出其中關鍵線段DE，相應的回顧垂直平分線的做法，并且有利于學生思考與垂直平分線有關的性質.在本題中正是利用已知角度和垂直平分線性質解題的.畫出圖形（如圖1所示）.

學生通過自己的作圖，十分明了AD與BD的關系以及∠A和∠DBE、∠CBD的關系，最終得到∠DBE=∠CBD.說明了BD平分∠CBD.

在學生作圖的過程中不僅是復習了相關的知識點，而且由學生自己畫圖，直接在其腦海中留有圖形的直觀印象，從而更好地使學生能夠反應出知識點，并且運用知識點.

二、由“畫”引思，促進幾何分析思維

對一個問題產生了疑惑，該從哪些角度入手？或者對問題分幾類討論？這樣的思考都是有助于分析能力的提高，在幾何中也顯得尤為重要.

例2 （2015，江蘇宿遷中考）在四邊形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=3，E是邊CD的中點，連接BE并延長與AD的延長線相交于點F.

（1）求證四邊形BDFC是平行四邊形；

（2）若△BCD是等腰三角形，求四邊形BDFC的面積.

分析 原題中已經給出了圖形，但是作為一道練習題目，還是要求學生自己作圖.如圖2，3，4所示.

在作圖過程中，學生會聯系起∠A=∠ABC=90°，為一組同旁內角，由此得到線段AD，BC之間的平行關系，又因為E是DC中點，由此可根據△DEF≌△CEB（AAS），證得EF=EB，由對角線互相平分可證得（1）.

然而此題的難點在于（2），由△BCD為等腰三角形的條件，求平行四邊形BDFC面積.在這里學生難以想到，對等腰△BCD按腰長進行分類，即討論情況①若DC=BC，②若DB=BC，③若DC=DB.

如何恰當地引導學生自己主動意識到分類進行討論，這道題無疑是培養(yǎng)學生主動分析幾何問題很有價值的載體.我們第一步是要求學生自己畫出圖形，由于AB長并沒有給出，因此，圖2可寬可窄（如圖3，4所示），通過圖明顯可以使學生觀察出①DC=BC，②DB=BC，使學生感知到應該將條件中等腰三角形按其兩腰相等進行分類，共產生三種情況.此題還沒有完全解決，但是對學生來講最困難的部分已經跨越了.接下來就是求平行四邊形的面積，只需找到合適的底與高即可.部分學生可能對求高存在一定的問題，觀察可發(fā)現高其實就是AB的長，在求高的計算過程中，我們就會發(fā)現剛才的分類討論有多么的重要.

在引導學生分類時，通過學生自己畫圖感知得出關鍵點，不斷地使學生分析問題直至得出結論，打破了傳統(tǒng)的由教師直接訴之的做法.在這個過程中學生全身心投入到對問題的思索當中，由他們自己所畫而所思，由此可見畫圖是培養(yǎng)學生進行幾何分析思維的有效途徑.

三、由“畫”引變，促進幾何發(fā)散思維

在幾何圖形中，如果一個點的位置有所改變，那么最后得到的結論就會有所改變.

例3 在△ABC中，AB=AC，點D在邊BC所在的直線上，過點D作DE∥AC交AB于點E，DF∥AB交AC于點F.討論DE，DF，AC之間的關系.

分析 在這道題目里面并沒有明確指出點D的確切位置，因此，先以頂角為銳角時，等腰三角形做出圖如下所示.

其中圖5是學生最容易想到的，但是問題并不止于此，當點D在BC左側時（如圖6所示），當點D在BC右側時（如圖7所示）.點D的位置不同，導致最后結果也不同.

情況①：AC=DE+DF；

情況②：AC=DF-DE；

情況③：AC=DE-DF.

在此題中，根據學生自己作圖不僅僅得出DE、DF、AC之間的三種關系，而且還會更加生動的使學生得出，點D位置的改變所帶來的不同影響.學生已經探討了等腰三角形頂角為銳角的情況，自然會引發(fā)他們思索在頂角為直角、鈍角時是否依舊會得出這樣的結論呢？向學生所傳遞出數學的嚴謹和求真，學生的發(fā)散思維得到充分的訓練.

如果沒有經過學生親自作圖這個環(huán)節(jié)，那么他們失去的是一次發(fā)現的過程，得出的結論只是別人咀嚼過的殘羹剩食.

小結 《義務教育數學課程標準（2011年版）》中指出：初中階段的學生應該具備一定的空間想象能力和基本的作圖技能，能借助于圖形有利于描述和分析問題，通過形象的圖形，同時采用數形結合的策略，把復雜的數學問題變得簡潔明了.可見圖形中蘊含著巨大的寶藏，要達到課標所要求的，首先需要對學生進行幾何思維的培養(yǎng).通過根據題目由學生自己作圖能夠達到訓練幾何的直觀思維、分析思維以及發(fā)散思維，并且通過學生自己動手畫圖，學生是真正地參與到解題過程中，在畫圖時不斷地讀題達到理解題目的目的.當然方法不是唯一的，而且還有適用性，因此，在具體實踐環(huán)節(jié)針對不同的內容、針對不同的學生要選擇合適的教學方法，才能展現出有效的教學效果.

（致謝：感謝趙臨龍導師對本文提出的有益建議）

【參考文獻】

[1]黃紅成.幾何思維能力培養(yǎng)的教學路徑[J].教學與管理，2016（5）：35-37.

[2]安麗雅.初中生幾何圖形學習困難的成因分析及對策[J].科學大眾（科學教育），2014（5）：22，45.

[3]盧英.初中生幾何思維水平的發(fā)展研究[D].重慶：西南大學，2014.endprint